《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

若异面直线$l_{1},l_{2}$所成的角为$\theta$，其方向向量分别为$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，则$\cos\theta=|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|=$________=________.

答案： $\left|\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}\right|$ $\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$
解析：异面直线所成角的余弦值等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，即$\left|\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}\right|=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$。

直线AB与平面$\alpha$相交于点B，设直线AB与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，直线AB的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$\sin\theta=$________=________=________.

答案： $|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|$ $\left|\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\right|$ $\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$
解析：直线与平面所成角$\theta$满足$\sin\theta=|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|=\left|\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$。

若平面$\alpha,\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{n}_{1}$和$\boldsymbol{n}_{2}$，设平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=$________=________=________.

答案： $|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|$ $\left|\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\right|$ $\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}$
解析：两平面夹角$\theta$的余弦值等于其法向量夹角余弦值的绝对值，即$|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|=\left|\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\right|=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}$。

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )

答案： ×
解析：两异面直线所成角范围$(0,\frac{\pi}{2}]$，方向向量夹角范围$[0,\pi]$，所成角是方向向量夹角或其补角（取锐角），故不一定相等。

(2)直线l的方向向量与平面$\alpha$的法向量的夹角的余角就是直线l与平面$\alpha$所成的角. ( )

答案： ×
解析：当方向向量与法向量夹角为$\theta$，直线与平面所成角为$\frac{\pi}{2}-\theta$或$\theta-\frac{\pi}{2}$（取锐角），即$|\frac{\pi}{2}-\theta|$，并非简单余角。

(3)若二面角$\alpha - l - \beta$的大小为$\theta$，平面$\alpha,\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$，则$\theta=\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle$. ( )

答案： ×
解析：二面角大小$\theta$等于$\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$或$\pi-\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$，故错误。

(4)若直线l的方向向量与平面$\alpha$的法向量的夹角等于$120°$，则直线l与平面$\alpha$所成的角等于$120°$. ( )

答案： ×
解析：直线与平面所成角为$180° - 120° - 90°=30°$，故错误。

(5)在二面角$\alpha - l - \beta$中，平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},-\sqrt{2})$，平面$\beta$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(0,\frac{1}{2},\sqrt{2})$，那么二面角$\alpha - l - \beta$的大小等于$30°$或$150°$. ( )

答案： √
解析：$\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle=\frac{-\frac{1}{4}-2}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{9}{4}}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，夹角$150°$，二面角为$30°$或$150°$，正确。