《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

(1)已知直线l：$x + ay - a - 1 = 0$，圆M：$x^2 + y^2 - 2x - 2 = 0$，则直线l与圆M的位置关系（ ）
A. 是相交
B. 是相切
C. 是相离
D. 不能确定
(2)若直线$x - y = 0$与圆$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = m$相离，则实数m的取值范围是（ ）
A. (0,2]
B. (1,2]
C. (0,2)
D. (1,2)

答案：
(1)A 圆M：$(x - 1)^2 + y^2 = 3$，圆心(1,0)，半径$\sqrt{3}$。
直线l过定点(1,1)，$(1 - 1)^2 + 1^2 = 1 ＜ 3$，点在圆内，所以直线与圆相交。
(2)C 圆心(1,-1)到直线$x - y = 0$距离$d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，相离则$d ＞ \sqrt{m}$，$\sqrt{2} ＞ \sqrt{m}$，$m ＜ 2$，又$m ＞ 0$，所以$0 ＜ m ＜ 2$。

例2 (1)直线l：$\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1$被圆C：$(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$截得的弦长为（ ）
A. $4\sqrt{5}$
B. $\frac{16\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
(2)已知圆C：$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$，过点D(0,1)的动直线l与圆C相交于M,N两点，当|MN|=2$\sqrt{15}$时，直线l的方程为（ ）
A. $4x + 3y - 3 = 0$
B. $3x - 4y + 4 = 0$
C. $x = 0$或$4x + 3y - 3 = 0$
D. $4x + 3y - 3 = 0$或$3x - 4y + 4 = 0$

答案：
(1)B 直线l化为$2x - y - 4 = 0$，圆心(5,2)到直线距离$d = \frac{|10 - 2 - 4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$，弦长$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{16 - \frac{16}{5}} = 2\sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{5}$。
(2)C 圆半径r=4，弦长$2\sqrt{15}$，则圆心(1,-2)到直线距离$d = \sqrt{16 - 15} = 1$。
当直线斜率不存在时，x=0，距离d=1，成立；
当斜率存在时，设$y = kx + 1$，$d = \frac{|k + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$，解得$k = -\frac{4}{3}$，直线$4x + 3y - 3 = 0$。
综上，直线方程为x=0或$4x + 3y - 3 = 0$。

活学活用
(1)直线l：$(2m + 1)x + (m + 1)y - 8m - 5 = 0$被圆C：$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$截得的最短弦的长为（ ）
A. $4\sqrt{6}$
B. $2\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{23}$
D. $\sqrt{23}$
(2)直线l：$3x - y - 6 = 0$与圆$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$相交于A,B两点，则|AB|=__________.

答案：
(1)A 直线l过定点(3,1)，圆C圆心(2,1)，半径5。
定点与圆心距离为1，最短弦长为$2\sqrt{25 - 1} = 4\sqrt{6}$。
(2)$\sqrt{10}$ 圆方程化为$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$，圆心(1,2)，半径$\sqrt{5}$。
圆心到直线距离$d = \frac{|3 - 2 - 6|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，弦长$2\sqrt{5 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{10}$。

例3 已知点P($\sqrt{2} + 1$,2 - $\sqrt{2}$)，点M(3,1)，圆C：$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.
(1)求过点P的圆C的切线方程.
(2)求过点M的圆C的切线方程.

答案：
(1)点P到圆心(1,2)距离$\sqrt{(\sqrt{2} + 1 - 1)^2 + (2 - \sqrt{2} - 2)^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 = r$，P在圆上。
切线斜率$k = -\frac{1}{\frac{2 - \sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 1 - 1}} = -\frac{1}{-1} = 1$，切线方程$y - (2 - \sqrt{2}) = x - (\sqrt{2} + 1)$，即$x - y + 1 - 2\sqrt{2} = 0$。
(2)点M到圆心距离$\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5} ＞ 2$，M在圆外。
①斜率不存在时，x=3，圆心到直线距离2，是切线；
②斜率存在时，设$y - 1 = k(x - 3)$，$d = \frac{|k - 2 - 3k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$，$\frac{| - 2k - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$，解得$k = \frac{3}{4}$，切线方程$3x - 4y - 5 = 0$。
综上，切线方程为x=3或$3x - 4y - 5 = 0$。

活学活用
(1)圆$x^2 + y^2 =4$在点P($\sqrt{3}$,-1)处的切线方程为（ ）
A. $\sqrt{3}x + y - 2 = 0$
B. $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$
C. $\sqrt{3}x - y - 4 = 0$
D. $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$
(2)从直线$x - y + 2 = 0$上的点向圆$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

答案：
(1)C 切线方程$\sqrt{3}x + (-1)y = 4$，即$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$。
(2)B 圆方程化为$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$，圆心(2,2)，半径1。
圆心到直线距离$d = \frac{|2 - 2 + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，切线长最小值$\sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{2 - 1} = 1$。