《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

1. x轴与圆$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3$的位置关系是（ ）
A. 是相交
B. 是相切
C. 是相离
D. 不确定

答案： A 圆心(1,-2)到x轴距离d=2，半径$\sqrt{3} \approx 1.732$，$d ＞ r$，相离。（注：原答案可能有误，根据计算应为相离，选项C）

2. 直线$3x + 4y = b$与圆$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$相切，则b的值可以为（ ）
A. -2
B. 2或12
C. -12
D. 12

答案： B 圆方程化为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心(1,1)，半径1。
圆心到直线距离$d = \frac{|3 + 4 - b|}{5} = 1$，$|7 - b| = 5$，$b = 2$或$b = 12$。

3. 若圆C的圆心为(1,2)，且被x轴截得的弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A. $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$
B. $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$
C. $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$
D. $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$

答案： A 弦长一半2，圆心到x轴距离2，半径$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，方程$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$，化为一般式$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$。

4. [多选题]若直线$ax + by = 0$与圆$x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0$有公共点，则（ ）
A. $\ln a \leq \ln b$
B. $|a| \leq |b|$
C. $(a + b)(a - b) \leq 0$
D. $a \leq b$

答案： BC 圆方程化为$(x - 2)^2 + y^2 = 2$，圆心(2,0)，半径$\sqrt{2}$。
圆心到直线距离$d = \frac{|2a|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq \sqrt{2}$，$4a^2 \leq 2(a^2 + b^2)$，$2a^2 \leq 2b^2$，$a^2 \leq b^2$，即$|a| \leq |b|$，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \leq 0$，BC正确。

5. 点A(3,5)是圆$x^2 + y^2 - 4x - 8y - 80 = 0$的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为__________.

答案： $x + y - 8 = 0$ 圆方程化为$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 100$，圆心(2,4)。
弦所在直线与圆心和A连线垂直，$k_{OA} = \frac{5 - 4}{3 - 2} = 1$，弦斜率$-1$，方程$y - 5 = - (x - 3)$，即$x + y - 8 = 0$。