《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

已知一个圆过点A(4,2),B(-1,3),它与x轴的交点坐标分别为(x₁,0),(x₂,0),与y轴的交点坐标分别为(0,y₁),(0,y₂),且x₁+x₂+y₁+y₂=2,求此圆的方程.

答案： 设圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
因为圆过点$A(4,2)$，$B(-1,3)$，所以将点代入方程可得：
$\begin{cases}4^2 + 2^2 + 4D + 2E + F = 0 \\ (-1)^2 + 3^2 - D + 3E + F = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}4D + 2E + F = -20 \\ -D + 3E + F = -10\end{cases}$。
圆与x轴交点满足$y=0$，方程为$x^2 + Dx + F = 0$，由韦达定理得$x₁ + x₂ = -D$。
圆与y轴交点满足$x=0$，方程为$y^2 + Ey + F = 0$，由韦达定理得$y₁ + y₂ = -E$。
已知$x₁ + x₂ + y₁ + y₂ = 2$，即$-D - E = 2$，$D + E = -2$。
联立方程组$\begin{cases}4D + 2E + F = -20 \\ -D + 3E + F = -10 \\ D + E = -2\end{cases}$，解得$D=-2$，$E=0$，$F=-12$。
所以圆的方程为$x^2 + y^2 - 2x - 12 = 0$。

例3 点A(2,0)是圆$x^2 + y^2 = 4$上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程.
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.

答案：
(1)设$M(x,y)$，$P(x₁,y₁)$，因为M是AP中点，所以$\begin{cases}x = \frac{x₁ + 2}{2} \\ y = \frac{y₁ + 0}{2}\end{cases}$，得$\begin{cases}x₁ = 2x - 2 \\ y₁ = 2y\end{cases}$。
因为P在圆$x^2 + y^2 = 4$上，所以$(2x - 2)^2 + (2y)^2 = 4$，化简得$(x - 1)^2 + y^2 = 1$。
(2)设$N(x,y)$，$P(x₁,y₁)$，$Q(x₂,y₂)$，因为N是PQ中点，所以$x₁ + x₂ = 2x$，$y₁ + y₂ = 2y$。
因为∠PBQ=90°，所以$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = 0$，$(x₁ - 1)(x₂ - 1) + (y₁ - 1)(y₂ - 1) = 0$。
又P,Q在圆上，$x₁^2 + y₁^2 = 4$，$x₂^2 + y₂^2 = 4$。
展开$(x₁ - 1)(x₂ - 1) + (y₁ - 1)(y₂ - 1) = 0$，结合$x₁ + x₂ = 2x$，$y₁ + y₂ = 2y$，$x₁x₂ + y₁y₂ = 2x + 2y - 2 - N^2$（N为中点，此处推导略），最终化简得$x^2 + y^2 - x - y - 1 = 0$。