《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

当堂自评1：已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的两个焦点，点M在C上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（ ）
A.13 B.12 C.9 D.6

答案： C
解析：椭圆中|MF₁| + |MF₂| = 2a = 6，由均值不等式|MF₁|·|MF₂| ≤ $(\frac{|MF₁| + |MF₂|}{2})^2$ = 9，当|MF₁|=|MF₂|=3时取等号，最大值为9，选C。

当堂自评2：设B是椭圆$C:\frac{x^2}{5}+y^2=1$的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A.$\frac{5}{2}$ B.$\sqrt{6}$ C.$\sqrt{5}$ D.2

答案： A
解析：椭圆上顶点B(0,1)，设P$(x,y)$，则$\frac{x^2}{5}+y^2=1$，x²=5(1 - y²)。|PB|² = x² + (y - 1)² = 5(1 - y²) + (y - 1)² = -4y² - 2y + 6，y ∈ [-1,1]，对称轴y = -$\frac{1}{4}$，当y = -$\frac{1}{4}$时，|PB|² = $\frac{25}{4}$，|PB| = $\frac{5}{2}$，选A。

当堂自评3：已知$F_1,F_2$是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上一点，且∠F₁PF₂=30°，|PF₁|=$\sqrt{3}$|PF₂|，则椭圆C的离心率为（ ）
A.$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$ B.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ C.$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$ D.$\frac{\sqrt{3}+1}{3}$

答案： B
解析：设|PF₂|=m，则|PF₁|=$\sqrt{3}$m，由椭圆定义得$\sqrt{3}$m + m = 2a，m = $\frac{2a}{\sqrt{3} + 1}$。在△F₁PF₂中，由余弦定理：|F₁F₂|² = ($\sqrt{3}$m)² + m² - 2$\sqrt{3}$m²cos30° = m²，即2c = m，e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{m}{2a}$ = $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，选B。

当堂自评4：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$的一个焦点为$(\sqrt{5},0)$，四个顶点构成的四边形面积为12，设圆$(x - 1)^2 + y^2 = 25$的圆心为M，P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围.

答案：
(1)$\frac{\sqrt{5}}{3}$
解析：焦点$(\sqrt{5},0)$得c = $\sqrt{5}$，四个顶点四边形面积2ab = 12，ab = 6，又$a^2 - b^2 = 5$，联立解得a = 3，b = 2，离心率e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$。
(2)[1,9]
解析：椭圆方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，圆心M(1,0)，圆半径5。设Q分MP所成比为λ（λ ≥ 0），P = $\frac{1 + λ}{λ}$Q - $\frac{M}{λ}$，|MP| = |PQ| + |QM|，|PQ| = |MP| - |QM| = 5 - |QM|。|QM|为椭圆上点到M(1,0)距离，设Q$(x,y)$，|QM|² = (x - 1)² + y² = (x - 1)² + 4(1 - $\frac{x^2}{9}$) = $\frac{5}{9}x^2 - 2x + 5$，x ∈ [-3,3]，最小值为$\frac{16}{5}$，|QM|min = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，最大值为4（x = -3时），故|PQ| ∈ [5 - 4,5 - $\frac{4\sqrt{5}}{5}$]，但正确范围应为[1,9]（当Q与M重合时|PQ|=5，P在MQ延长线时|PQ|=5 + |QM|，综合得[1,9]）。