《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

5. 如图，在平行六面体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$AC$的中点。(1)化简：$\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

答案： $\overrightarrow{A_{1}A}$

5. (2)设$E$是棱$DD_{1}$上的点，且$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}$，若$\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}$，试求实数$x$，$y$，$z$的值。

答案： $x=-\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，$z=-\frac{2}{3}$

空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\mathbf{0})$，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$，使______。

答案： $\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$

方向向量：如图，$O$是直线$l$上一点，在直线$l$上取非零向量$\boldsymbol{a}$，则对于直线$l$上任意一点$P$，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数______，使得$\overrightarrow{OP}=$______，我们把与向量$\boldsymbol{a}$平行的非零向量称为直线$l$的方向向量。

答案： $t$；$t\boldsymbol{a}$

共面向量：(1)向量和直线平行：如果表示向量$\boldsymbol{a}$的有向线段$\overrightarrow{OA}$所在的直线$OA$与直线$l$______，那么称向量$\boldsymbol{a}$平行于直线$l$。(2)向量和平面平行：如果表示向量$\boldsymbol{a}$的有向线段$\overrightarrow{OA}$所在的直线$OA$平行于平面$\alpha$或在平面$\alpha$内,那么称向量$\boldsymbol{a}$______平面$\alpha$。(3)共面向量：______同一个平面的向量，叫做共面向量。

答案： 平行或重合；平行于；平行于

空间向量共面的充要条件：如果两个向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，那么向量$\boldsymbol{p}$与向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使______。

答案： $\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$