《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,平面$PAD\perp$平面$ABCD$,$ABCD$为正方形,$\triangle PAD$是直角三角形,且$PA=AD=2$,$E,F,G$分别是线段$PA,PD,CD$的中点.求证:平面$EFG//$平面$PBC.$

答案： 以$A$为原点，分别以$AB,AD,AP$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，则$A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)$。$\overrightarrow{EF}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{EG}=(1,2,-1)$，$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{PC}=(2,2,-2)$。设平面$EFG$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，平面$PBC$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，求得$\boldsymbol{n}_{1}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(1,0,1)$，所以$\boldsymbol{n}_{1}=\boldsymbol{n}_{2}$，故平面$EFG//$平面$PBC$。

1. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2,4,5),\boldsymbol{b}=(3,x,y)$分别是直线$l_{1},l_{2}$的方向向量,若$l_{1}// l_{2}$,则（ ）
A. $x=6,y=15$
B. $x=3,y=\frac{15}{2}$
C. $x=3,y=15$
D. $x=6,y=\frac{15}{2}$

答案： A

2. 已知平面$\alpha$的一个法向量是$(2,-1,1),\alpha//\beta$,则下列向量可作为平面$\beta$的一个法向量的是（ ）
A. $(4,2,-2)$
B. $(2,0,4)$
C. $(2,-1,-5)$
D. $(4,-2,2)$

答案： D

3. 已知线段$AB$的两端点坐标分别为$A(9,-3,4),B(9,2,1)$,则直线$AB$（ ）
A. 与坐标平面$Oxy$平行
B. 与坐标平面$Oyz$平行
C. 与坐标平面$Oxz$平行
D. 与坐标平面$Oyz$相交

答案： B

4. 设两个不同平面$\alpha,\beta$的一个法向量分别为$\boldsymbol{u}=(1,2,-2),\boldsymbol{v}=(-3,-6,6)$,则$\alpha,\beta$的位置关系为______.

答案： 平行

5. 如图,已知矩形$ABCD$和矩形$ADEF$所在平面互相垂直,点$M,N$分别在对角线$BD,AE$上,且$BM=\frac{1}{3}BD,AN=\frac{1}{3}AE$.求证:$MN//$平面$CDE.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DC,DE,DA$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设$DC=a,DE=b,DA=c$，则$M(\frac{a}{3},0,\frac{2c}{3}),N(0,\frac{b}{3},\frac{c}{3})$，$\overrightarrow{MN}=(-\frac{a}{3},\frac{b}{3},-\frac{c}{3})$。平面$CDE$的法向量为$\boldsymbol{n}=(0,0,1)$，因为$\overrightarrow{MN}\cdot\boldsymbol{n}=0$且$MN\not\subset$平面$CDE$，所以$MN//$平面$CDE$。