《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)圆的一般方程可以与圆的标准方程互化。（ ）
(2)二元二次方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F=0$一定是某个圆的方程。（ ）
(3)若方程$x^{2}+y^{2}-2x + Ey + 1=0$表示圆，则$E\neq0$。（ ）
(4)方程$x^{2}+y^{2}-x + y + 1=0$表示圆。（ ）
(5)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程。（ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
解析：
(1)配方可互化，√；
(2)$D^{2}+E^{2}-4F＜0$时不表示圆，×；
(3)$E = 0$时$D^{2}+E^{2}-4F=4 - 4=0$表示点，×；
(4)$D^{2}+E^{2}-4F=1 + 1 - 4=-2＜0$，×；
(5)圆的方程是二元二次方程，√。

例1 下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心坐标和半径长。
(1)$2x^{2}+y^{2}-7y + 5=0$。
(2)$x^{2}-xy + y^{2}+6x + 7y=0$。
(3)$x^{2}+y^{2}+x + 2=0$。
(4)$x^{2}+y^{2}-x=0$。

答案：
(1)不表示圆；
(2)不表示圆；
(3)不表示圆；
(4)表示圆，圆心$(\frac{1}{2},0)$，半径$\frac{1}{2}$
解析：
(1)$x^{2}$与$y^{2}$系数不等，不表示圆；
(2)含$xy$项，不表示圆；
(3)$D^{2}+E^{2}-4F=1 - 8=-7＜0$，不表示圆；
(4)配方$(x-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$，圆心$(\frac{1}{2},0)$，半径$\frac{1}{2}$。

例2 已知圆$C:x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + 3=0$，圆心在直线$x + y - 1=0$上，且圆心在第二象限，半径长为$\sqrt{2}$，求圆$C$的一般方程。

答案： $x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 3=0$
解析：圆心$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，则$-\frac{D}{2}-\frac{E}{2}-1 = 0$，$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-12}}{2}=\sqrt{2}$，解得$D = 2,E=-4$（圆心在第二象限），方程$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 3 = 0$。

活学活用 (1)已知方程$x^{2}+y^{2}+2x - 2ay + 2a + 4=0$表示一个圆，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)$
B. $[-1,3]$
C. $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$
D. $(-1,3)$

答案： C
解析：$D^{2}+E^{2}-4F=4 + 4a^{2}-4(2a + 4)=4a^{2}-8a - 12＞0$，解得$a＜-1$或$a＞3$，选C。

活学活用 (2)已知$\odot C:x^{2}+y^{2}+x - 2y+\frac{1}{2}=0$，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. $(-\frac{1}{2},1),\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $(-1,2),\sqrt{3}$
C. $(\frac{1}{2},1),\sqrt{3}$
D. $(1,-2),\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： A
解析：圆心$(-\frac{1}{2},1)$，半径$\frac{\sqrt{1 + 4 - 2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，选A。