《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,设直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}$,则$l_{1}\perp l_{2}\Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow$______.

答案： $\boldsymbol{u}_{1}\perp \boldsymbol{u}_{2}$；$\boldsymbol{u}_{1}\cdot \boldsymbol{u}_{2}=0$

如图,$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量,$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量,则$l\perp \alpha \Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow$______.

答案： $\boldsymbol{u}// \boldsymbol{n}$；$\exists \lambda \in \mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{n}$

如图,设$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量,则$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow$______.

答案： $\boldsymbol{n}_{1}\perp \boldsymbol{n}_{2}$；$\boldsymbol{n}_{1}\cdot \boldsymbol{n}_{2}=0$

(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. ( )

答案： ×

(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直. ( )

答案： ×

(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. ( )

答案： √

(4)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积均为0. ( )

答案： √

(5)已知两平面$\alpha,\beta$的一个法向量分别为$\boldsymbol{u}_{1}=(1,0,1),\boldsymbol{u}_{2}=(0,2,0)$,则$\alpha \perp \beta$. ( )

答案： √

(6)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. ( )

答案： ×

如图,在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,$AC=3,BC=4,AB=5,AA_{1}=4$,求证:$AC\perp BC_{1}.$

答案： 以$C$为原点，分别以$CA,CB,CC_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，则$C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C_{1}(0,0,4)$。$\overrightarrow{AC}=(-3,0,0)$，$\overrightarrow{BC_{1}}=(0,-4,4)$，因为$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}=0$，所以$AC\perp BC_{1}$。