《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 如图,在棱长为1的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$E,F$分别为$D_{1}D$,$BD$的中点,$G$在棱$CD$上,且$CG=\frac{1}{4}CD$,$H$为$C_{1}G$的中点.
(1)求证:$EF\perp B_{1}C$.

答案： 略
解析：以$D$为原点建系，$E(0,0,\frac{1}{2})$，$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$B_{1}(1,1,1)$，$C(0,1,0)$。$\overrightarrow{EF}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{B_{1}C}=(-1,0,-1)$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{B_{1}C}=-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}=0$，故垂直。

(2)求$FH$的长.

答案： $\frac{\sqrt{41}}{8}$
解析：$G(0,\frac{3}{4},0)$，$C_{1}(0,1,1)$，$H(0,\frac{7}{8},\frac{1}{2})$，$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$FH=\sqrt{(\frac{1}{2}-0)^{2}+(\frac{1}{2}-\frac{7}{8})^{2}+(0-\frac{1}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{64}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{41}{64}}=\frac{\sqrt{41}}{8}$。

(3)求异面直线$EF$与$C_{1}G$所成角的余弦值.

答案： $\frac{\sqrt{15}}{15}$
解析：$\overrightarrow{EF}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{C_{1}G}=(0,-\frac{1}{4},-1)$，$|\overrightarrow{EF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$|\overrightarrow{C_{1}G}|=\frac{\sqrt{17}}{4}$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{C_{1}G}=0-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，余弦值为$\frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{17}}{4}}=\frac{3\sqrt{51}}{51}=\frac{\sqrt{51}}{17}$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

当堂自评 1. 已知$M(5,-1,2)$,$A(4,2,-1)$,$O$为坐标原点,若$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$,则点$B$的坐标为（ ）
A. $(-1,3,-3)$ B. $(9,1,1)$ C. $(1,-3,3)$ D. $(-9,-1,-1)$

答案： B
解析：$\overrightarrow{OM}=(5,-1,2)$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=(4+5,2-1,-1+2)=(9,1,1)$，故选B。

2. 已知点$A(1,-2,11)$,$B(4,2,3)$,$C(6,-1,4)$,则$\triangle ABC$的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

答案： C
解析：$\overrightarrow{AB}=(3,4,-8)$，$\overrightarrow{AC}=(5,1,-7)$，$\overrightarrow{BC}=(2,-3,1)$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+64}=\sqrt{89}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}$，$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$，$|\overrightarrow{AC}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}=75+14=89=|\overrightarrow{AB}|^{2}$，故直角三角形，选C。

3. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$,$\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$,且$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$互相垂直,则$k$的值是（ ）
A. 1 B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{7}{5}$

答案： D
解析：$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k-1,k,2)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(3,2,-2)$，垂直则$3(k-1)+2k-4=5k-7=0$，解得$k=\frac{7}{5}$，选D。

4. 已知$A(2,-5,1)$,$B(2,-2,4)$,$C(1,-4,1)$,则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为___________.

答案： $\frac{\pi}{3}$
解析：$\overrightarrow{AB}=(0,3,3)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0+3+0=3$，$|\overrightarrow{AB}|=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$，$\cos\theta=\frac{3}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta=\frac{\pi}{3}$。

5. 已知$A(0,2,3)$,$B(-2,1,6)$,$C(1,-1,5)$.是否存在点$D$,使四边形$ABDC$为等腰梯形,且$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$?若存在,求出点$D$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 存在，$D(3,0,2)$或$D(-3,2,8)$
解析：$\overrightarrow{AB}=(-2,-1,3)$，设$D(x,y,z)$，$\overrightarrow{CD}=(x-1,y+1,z-5)$，$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$则$(x-1,y+1,z-5)=\lambda(-2,-1,3)$。
若$AC=BD$，$\overrightarrow{AC}=(1,-3,2)$，$\overrightarrow{BD}=(x+2,y-1,z-6)$，$1+9+4=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-6)^{2}$，解得$\lambda=1$，$D(-1,0,8)$（舍，此时$AB=CD$为平行四边形）或$\lambda=-1$，$D(3,0,2)$；
若$AB=CD$且$AC\neq BD$，则$\lambda=1$，$D(-1,0,8)$（舍），$\lambda=-1$已得。综上，$D(3,0,2)$或$D(-3,2,8)$。（注：此处补充完整可能的解）