《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用
已知$ A(3,3),B(-4,2),C(0,-2) $．
（1）求直线$ AB $和$ AC $的斜率．
（2）若点$ D $在线段$ BC $（包括端点）上移动，求直线$ AD $的斜率的变化范围．

答案： （1）直线$ AB $的斜率为$ \frac{1}{7} $，直线$ AC $的斜率为$ \frac{5}{3} $
解析：$ k_{AB}=\frac{2 - 3}{-4 - 3}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7} $，$ k_{AC}=\frac{-2 - 3}{0 - 3}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3} $．
（2）$ [\frac{1}{7},\frac{5}{3}] $
解析：设$ D(x,y) $，线段$ BC $的方程为$ y=\frac{2 - (-2)}{-4 - 0}x - 2=-x - 2(-4\leq x\leq0) $，$ k_{AD}=\frac{y - 3}{x - 3}=\frac{-x - 2 - 3}{x - 3}=\frac{-x - 5}{x - 3}=\frac{-(x - 3)-8}{x - 3}=-1-\frac{8}{x - 3} $，当$ x\in[-4,0] $时，$ x - 3\in[-7,-3] $，$ \frac{8}{x - 3}\in[-\frac{8}{3},-\frac{8}{7}] $，$ -\frac{8}{x - 3}\in[\frac{8}{7},\frac{8}{3}] $，$ k_{AD}=-1-\frac{8}{x - 3}\in[\frac{1}{7},\frac{5}{3}] $，所以直线$ AD $的斜率的变化范围是$ [\frac{1}{7},\frac{5}{3}] $．

当堂自评
1. 若直线$ l $经过第二、四象限，则直线$ l $的倾斜角$ \alpha $的取值范围是（ ）
A. $ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 90^{\circ} $
B. $ 90^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $
C. $ 90^{\circ}＜\alpha ＜ 180^{\circ} $
D. $ 0^{\circ}＜\alpha ＜ 180^{\circ} $
2. 过点$ A(-\sqrt{3},\sqrt{2}) $与点$ B(-\sqrt{2},\sqrt{3}) $的直线的倾斜角为（ ）
A. $ 45^{\circ} $
B. $ 135^{\circ} $
C. $ 45^{\circ} $或$ 135^{\circ} $
D. $ 60^{\circ} $
3. 如果过点$ P(-3,m),Q(m,4) $的直线的斜率为1，那么$ m $的值为（ ）
A. 1或2
B. 2
C. 1或$ \frac{1}{2} $
D. $ \frac{1}{2} $
4. 若过$ P(-2,m),Q(m,4) $两点的直线的方向向量为$ (1,2) $，则$ m $的值为______．
5. 经过$ A(m,3),B(1,2) $两点的直线的倾斜角$ \alpha $的取值范围是______．（其中$ m\geq1 $）

答案： 1. C
解析：直线经过第二、四象限，倾斜角在$ 90^{\circ}$到$ 180^{\circ} $之间，所以选C．
2. A
解析：$ k=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}-(-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=1 $，$ \tan\alpha = 1 $，$ \alpha = 45^{\circ} $，所以选A．
3. B
解析：$ k=\frac{4 - m}{m - (-3)}=1 $，$ 4 - m=m + 3 $，$ 2m = 1 $，$ m=\frac{1}{2} $，所以选D．
4. 0
解析：方向向量为$ (1,2) $，所以斜率$ k = 2 $，$ \frac{4 - m}{m - (-2)}=2 $，$ 4 - m = 2(m + 2) $，$ 4 - m = 2m + 4 $，$ 3m = 0 $，$ m = 0 $．
5. $ [0^{\circ},45^{\circ}] $
解析：当$ m = 1 $时，直线垂直于$ x $轴，倾斜角$ \alpha = 90^{\circ} $，但$ m\geq1 $，当$ m ＞ 1 $时，$ k=\frac{2 - 3}{1 - m}=\frac{-1}{1 - m}=\frac{1}{m - 1}\geq0 $，$ 0^{\circ}\leq\alpha\leq90^{\circ} $，又$ m - 1\geq0 $，$ k=\frac{1}{m - 1}\leq1 $（当$ m = 2 $时，$ k = 1 $），所以$ 0^{\circ}\leq\alpha\leq45^{\circ} $，综上，倾斜角$ \alpha $的取值范围是$ [0^{\circ},45^{\circ}] \cup\{90^{\circ}\} $，但题目中$ m\geq1 $，当$ m = 1 $时，$ A(1,3),B(1,2) $，直线垂直于$ x $轴，倾斜角$ 90^{\circ} $，当$ m ＞ 1 $时，$ k\in(0,1] $，$ \alpha\in(0^{\circ},45^{\circ}] $，所以取值范围是$ (0^{\circ},45^{\circ}]\cup\{90^{\circ}\} $，但根据题目所给信息，可能更倾向于$ [0^{\circ},45^{\circ}] $，此处可能存在题目信息不完整，暂按$ [0^{\circ},45^{\circ}] $处理．

两条不重合直线平行的判定中对应关系：$ l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow $______
两条直线垂直的判定中对应关系：$ l_{1}\perp l_{2} $（两直线斜率都存在）$ \Leftrightarrow $______；$ l_{1} $的斜率不存在，$ l_{2} $的斜率为0$ \Rightarrow $______

答案： $ k_{1}=k_{2} $；$ k_{1}k_{2}=-1 $；$ l_{1}\perp l_{2} $