《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

(1)已知直线$y=ax - 2$和$y=(a + 2)x + 1$互相垂直,则$a=$______.

答案： $-1$
解析：两直线垂直，斜率之积为$-1$，即$a(a + 2)=-1$，$a^{2}+2a + 1=0$，$(a + 1)^{2}=0$，解得$a=-1$。

(2)若直线$l_{1}:y=-\frac{2}{a}x-\frac{1}{a}$与直线$l_{2}:y = 3x-1$互相平行,则$a=$______.

答案： $-\frac{2}{3}$
解析：两直线平行，斜率相等，即$-\frac{2}{a}=3$，解得$a=-\frac{2}{3}$，且截距$-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}\neq-1$，符合条件。

5. 已知斜率为$-\frac{4}{3}$的直线$l$与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线$l$的方程.

答案： $4x + 3y + 12=0$或$4x + 3y - 12=0$
解析：设直线方程为$y=-\frac{4}{3}x + b$，与$x$轴交点$(\frac{3b}{4},0)$，与$y$轴交点$(0,b)$。面积$S=\frac{1}{2}×|\frac{3b}{4}|×|b|=6$，$\frac{3}{8}b^{2}=6$，$b^{2}=16$，$b=\pm4$，方程为$y=-\frac{4}{3}x\pm4$，化为一般式$4x + 3y\pm12=0$。

1. 直线$y = 2x - 3$在$y$轴上的截距是（ ）
A.3
B.2
C.-2
D.-3

答案： D
解析：直线$y = kx + b$在$y$轴上的截距为$b$，所以该直线截距为$-3$，故选D。

2. 经过点$(-2,2)$,倾斜角是$60^{\circ}$的直线方程是（ ）
A.$y + 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)$
B.$y - 2=\sqrt{3}(x + 2)$
C.$y - 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$
D.$y + 2=\sqrt{3}(x - 2)$

答案： B
解析：倾斜角$60^{\circ}$，斜率$k=\sqrt{3}$，由点斜式方程$y - 2=\sqrt{3}(x + 2)$，故选B。

3. 下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A.$y = 2x + 1$
B.$y=\frac{1}{2}x + 4$
C.$y=-2x + 4$
D.$y=\frac{3}{2}x - 3$

答案： C
解析：过第一、二、四象限需斜率$k＜0$，截距$b＞0$，选项C中$k=-2＜0$，$b=4＞0$，符合，故选C。

4. 已知过点$A(-2,m)$和点$B(m,4)$的直线为$l_{1},l_{2}:y=-2x + 1,l_{3}:y=-\frac{1}{n}x-\frac{1}{n}$,若$l_{1}// l_{2},l_{2}\perp l_{3}$,则$m + n$的值为______.

答案： 5
解析：$l_{1}// l_{2}$，$l_{2}$斜率为$-2$，所以$l_{1}$斜率$\frac{4 - m}{m - (-2)}=-2$，$\frac{4 - m}{m + 2}=-2$，$4 - m=-2m - 4$，$m=-8$。$l_{2}\perp l_{3}$，$l_{2}$斜率$-2$，$l_{3}$斜率$-\frac{1}{n}$，则$(-2)(-\frac{1}{n})=-1$，$\frac{2}{n}=-1$，$n=-2$，$m + n=-8 + (-2)=-10$。