《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

迁移探究 本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.

答案： 设$E(x,y)$，$P(x₁,y₁)$，因为E是BP中点，所以$\begin{cases}x = \frac{x₁ + 1}{2} \\ y = \frac{y₁ + 1}{2}\end{cases}$，得$\begin{cases}x₁ = 2x - 1 \\ y₁ = 2y - 1\end{cases}$。
因为P在圆$x^2 + y^2 = 4$上，所以$(2x - 1)^2 + (2y - 1)^2 = 4$，化简得$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 1$。

1. 下列方程能表示圆的是（ ）
A. $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$
B. $x^2 + y^2 + 20x + 121 = 0$
C. $x^2 + y^2 + 2ax = 0$
D. $x^2 + y^2 + 2ay - 1 = 0$

答案： D
对于A，$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 0$，即$(x + 1)^2 + y^2 = 0$，表示点$(-1,0)$，不是圆；
对于B，$x^2 + 20x + 100 + y^2 = -21$，即$(x + 10)^2 + y^2 = -21$，无意义；
对于C，$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2$，即$(x + a)^2 + y^2 = a^2$，当$a=0$时为点，不一定是圆；
对于D，$x^2 + y^2 + 2ay + a^2 = a^2 + 1$，即$x^2 + (y + a)^2 = a^2 + 1$，半径$\sqrt{a^2 + 1} ＞ 0$，表示圆。

2. △ABC的三个顶点分别是A(-1,-5)，B(2,4)，C(5,-5)，则△ABC外接圆的方程是（ ）
A. $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$
B. $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0$
C. $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$
D. $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 20 = 0$

答案： A
设外接圆方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，将A,B,C代入得：
$\begin{cases}1 + 25 - D - 5E + F = 0 \\ 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \\ 25 + 25 + 5D - 5E + F = 0\end{cases}$，解得$D=-4$，$E=-2$，$F=-20$，方程为$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$。

3. 经过点A(1,$\sqrt{5}$)和B(2,-2$\sqrt{2}$)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A. $x^2 + y^2 - 6y = 0$
B. $x^2 + y^2 + 6y = 0$
C. $x^2 + y^2 + 6x = 0$
D. $x^2 + y^2 - 6x = 0$

答案： D
设圆心$(a,0)$，半径r，方程$(x - a)^2 + y^2 = r^2$。
将A,B代入：$\begin{cases}(1 - a)^2 + 5 = r^2 \\ (2 - a)^2 + 8 = r^2\end{cases}$，解得$a=3$，$r^2=9$，方程$(x - 3)^2 + y^2 = 9$，化为一般式$x^2 + y^2 - 6x = 0$。

4. 已知定点A(4,0)，P是圆$x^2 + y^2 = 4$上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是__________.

答案： $(x - 2)^2 + y^2 = 1$
设$Q(x,y)$，$P(x₁,y₁)$，则$\begin{cases}x = \frac{x₁ + 4}{2} \\ y = \frac{y₁ + 0}{2}\end{cases}$，$\begin{cases}x₁ = 2x - 4 \\ y₁ = 2y\end{cases}$。
因为P在圆上，所以$(2x - 4)^2 + (2y)^2 = 4$，化简得$(x - 2)^2 + y^2 = 1$。

5. 已知方程$x^2 + y^2 - 2(m + 3)x + 2(1 - 4m^2)y + 16m^4 + 9 = 0$表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围.
(2)求该圆的半径r的取值范围.

答案：
(1)方程表示圆，则$[-2(m + 3)]^2 + [2(1 - 4m^2)]^2 - 4(16m^4 + 9) ＞ 0$，
化简得$4(m^2 + 6m + 9) + 4(1 - 8m^2 + 16m^4) - 64m^4 - 36 ＞ 0$，
$4m^2 + 24m + 36 + 4 - 32m^2 + 64m^4 - 64m^4 - 36 ＞ 0$，
$-28m^2 + 24m + 4 ＞ 0$，$7m^2 - 6m - 1 ＜ 0$，$(7m + 1)(m - 1) ＜ 0$，解得$-\frac{1}{7} ＜ m ＜ 1$。
(2)半径$r = \frac{1}{2}\sqrt{4(m + 3)^2 + 4(1 - 4m^2)^2 - 4(16m^4 + 9)}$，
化简得$r = \sqrt{-7m^2 + 6m + 1} = \sqrt{-7(m - \frac{3}{7})^2 + \frac{16}{7}}$，
因为$-\frac{1}{7} ＜ m ＜ 1$，所以$0 ＜ r \leq \frac{4\sqrt{7}}{7}$。