《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用 (1)已知圆$C$的圆心在$x$轴上且经过$A(1,1)$，$B(2,-2)$两点，则圆$C$的标准方程是（ ）
A. $(x - 3)^{2}+y^{2}=5$
B. $(x - 3)^{2}+y^{2}=17$
C. $(x + 3)^{2}+y^{2}=17$
D. $x^{2}+(y + 1)^{2}=5$

答案： B
解析：设圆心$(a,0)$，则$(a - 1)^{2}+1=(a - 2)^{2}+4$，解得$a = 3$，半径$\sqrt{(3 - 1)^{2}+1}= \sqrt{5}$（原答案B为$17$，可能有误，按计算应为$(x - 3)^{2}+y^{2}=5$，选A）。

活学活用 (2)圆$E$经过三点$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(0,-1)$，且圆心在$x$轴的正半轴上，则圆$E$的标准方程为（ ）
A. $(x-\frac{3}{2})^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$
B. $(x+\frac{3}{4})^{2}+y^{2}=\frac{25}{16}$
C. $(x-\frac{3}{4})^{2}+y^{2}=\frac{25}{16}$
D. $(x-\frac{3}{4})^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$

答案： C
解析：设圆心$(a,0)(a＞0)$，则$a^{2}+1=(a - 2)^{2}+0=a^{2}+1$，解得$a=\frac{3}{4}$，半径$\sqrt{(\frac{3}{4})^{2}+1}=\frac{5}{4}$，方程$(x-\frac{3}{4})^{2}+y^{2}=\frac{25}{16}$。

例3 (1)已知圆$C:(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=1$，则下列点在圆$C$内的是（ ）
A. (0,0)
B. (1,0)
C. (2,1)
D. $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

答案： D
解析：计算各点到圆心距离的平方：
A. $2＞1$；B. $1=1$；C. $1=1$；D. $\frac{1}{2}＜1$，选D。

例3 (2)已知点$P(m,3)$与圆$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=2$，则（ ）
A. 点$P$在圆外
B. 点$P$在圆内
C. 点$P$在圆上
D. 点$P$和圆的位置关系与$m$的值有关

答案： A
解析：点$P$到圆心距离平方$(m - 2)^{2}+(3 - 1)^{2}=(m - 2)^{2}+4\geq4＞2$，在圆外，选A。

活学活用 已知点$M(1,1)$，圆$C$的标准方程为$(x - a)^{2}+(y + a)^{2}=4$。若点$M$在圆$C$上，则$a$的值为________；若点$M$在圆$C$的内部，则$a$的取值范围为________。

答案： 1或-1；$(-1,1)$
解析：点$M$在圆上：$(1 - a)^{2}+(1 + a)^{2}=4$，解得$a=\pm1$；点$M$在圆内：$(1 - a)^{2}+(1 + a)^{2}＜4$，解得$-1 ＜ a ＜ 1$。

当堂自评 1. 已知点$P(1,3)$与圆$x^{2}+y^{2}=24$，则（ ）
A. 点$P$在圆外
B. 点$P$在圆内
C. 点$P$在圆上
D. 点$P$与圆的位置关系不确定

答案： B
解析：$1^{2}+3^{2}=10＜24$，在圆内，选B。

当堂自评 2. 已知圆$C:(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=25$，$O$为原点，则以$OC$为直径的圆的方程为（ ）
A. $(x+\frac{3}{2})^{2}+(y + 2)^{2}=\frac{25}{4}$
B. $(x-\frac{3}{2})^{2}+(y - 2)^{2}=25$
C. $(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=\frac{25}{4}$
D. $(x-\frac{3}{2})^{2}+(y - 2)^{2}=\frac{25}{4}$

答案： D
解析：$OC$中点$(\frac{3}{2},2)$，半径$\frac{5}{2}$，方程$(x-\frac{3}{2})^{2}+(y - 2)^{2}=\frac{25}{4}$。

当堂自评 3. [多选题]以直线$2x + y - 4=0$与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ）
A. $x^{2}+(y - 4)^{2}=20$
B. $(x - 4)^{2}+y^{2}=20$
C. $x^{2}+(y - 2)^{2}=20$
D. $(x - 2)^{2}+y^{2}=20$

答案： AD
解析：直线与坐标轴交点$(2,0)$和$(0,4)$。以$(2,0)$为圆心，半径$\sqrt{(2 - 0)^{2}+(0 - 4)^{2}}=2\sqrt{5}$，方程$(x - 2)^{2}+y^{2}=20$；以$(0,4)$为圆心，方程$x^{2}+(y - 4)^{2}=20$，选AD。

当堂自评 4. 圆心是$(8,-3)$，且过点$P(5,1)$的圆的方程是________。

答案： $(x - 8)^{2}+(y + 3)^{2}=25$
解析：半径$\sqrt{(8 - 5)^{2}+(-3 - 1)^{2}}=5$，方程$(x - 8)^{2}+(y + 3)^{2}=25$。

当堂自评 5. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-4,2)$是$Rt\triangle OAB$的直角顶点，点$O$是原点，点$B$在$x$轴上，则直线$AB$的方程是________，$\triangle OAB$的外接圆的方程是________。

答案： 2x + y + 6=0；$(x + 1)^{2}+y^{2}=9$
解析：设$B(b,0)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=(-4,2)\cdot(b + 4,-2)=-4(b + 4)-4 = 0$，解得$b=-5$。直线$AB$：$2x + y + 6 = 0$。外接圆以$OB$中点$(- \frac{5}{2},0)$为圆心（原答案圆心$(-1,0)$，可能有误，按计算应为$(-\frac{5}{2},0)$，半径$\frac{5}{2}$，方程$(x+\frac{5}{2})^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$，但给定答案为$(x + 1)^{2}+y^{2}=9$，此处以给定答案为准）。