《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 已知P为椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$上一点，$F_1,F_2$分别是椭圆的左右焦点，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积.

答案： 3$\sqrt{3}$
解析：椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，a = $2\sqrt{3}$，b = $\sqrt{3}$，c = 3，|F₁F₂|=6。设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m + n = 4$\sqrt{3}$，由余弦定理：36 = m² + n² - mn = (m + n)² - 3mn = 48 - 3mn，得mn = 4，面积S = $\frac{1}{2}$mn sin60° = $\sqrt{3}$（原答案3$\sqrt{3}$，修正：应为$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$）

例2 设椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$的两个焦点为$F_1,F_2$，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=3，|PF₂|=5.
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M在椭圆C上，且△MF₁F₂的面积为2$\sqrt{3}$，求点M的坐标.

答案：
(1)$\frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{8}=1$
解析：|PF₁| + |PF₂| = 8 = 2a得a = 4，|F₁F₂|² = 3² + 5² = 34 = 4c²得c² = $\frac{17}{2}$，$b^2 = a^2 - c^2 = 16 - \frac{17}{2} = \frac{15}{2}$（原解析有误，修正：|F₁F₂| = $\sqrt{3^2 + 5^2}$ = $\sqrt{34}$，c = $\frac{\sqrt{34}}{2}$，$a^2 = 16$，$b^2 = 16 - \frac{17}{2} = \frac{15}{2}$，方程$\frac{x^2}{16}+\frac{2y^2}{15}=1$）
(2)$(\pm \frac{2\sqrt{102}}{17},\pm \frac{6\sqrt{17}}{17})$
解析：S = $\frac{1}{2}×2c×|y_M| = c|y_M| = 2\sqrt{3}$，|y_M| = $\frac{2\sqrt{3}}{c}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{34}}{2}}$ = $\frac{4\sqrt{102}}{34}$ = $\frac{2\sqrt{102}}{17}$，代入椭圆方程得x_M = $\pm \frac{6\sqrt{17}}{17}$。

活学活用：已知P是椭圆$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$上一点，$F_1,F_2$是椭圆的两个焦点，若$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，则△PF₁F₂的面积为.

答案： 20
解析：椭圆$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$，a = 3$\sqrt{5}$，b = 2$\sqrt{5}$，c = 5，$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$即PF₁⊥PF₂，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m + n = 6$\sqrt{5}$，m² + n² = (2c)² = 100，(m + n)² - 2mn = 100，180 - 2mn = 100，mn = 40，面积S = $\frac{1}{2}$mn = 20。