《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

跟踪训练 (1)若$a,b$为正实数，直线$4x+(2a-3)y+2=0$与直线$bx + 2y -1=0$互相垂直，则$ab$的最大值为 （ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{9}{16}$
C. $\frac{9}{4}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

答案： B
垂直条件：$4b + 2(2a - 3)=0$，即$2a + 2b=3$，$a + b=\frac{3}{2}$。
$ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2}=\frac{9}{16}$，当$a = b=\frac{3}{4}$时取等。

(2)已知直线$l:3kx + (k + 2)y -10k - 2=0$，则下列选项错误的是 （ ）
A. 当直线$l$与直线$x + y + 2=0$平行时，$k=1$
B. 当直线$l$与直线$x + y + 2=0$垂直时，$k=-\frac{1}{2}$
C. 当实数$k$变化时，直线$l$恒过点$(2,1)$
D. 原点到直线$l$的距离小于$\sqrt{10}$

答案： D
A. $k=1$时，$l:3x + 3y -12=0$即$x + y -4=0$，与$x + y + 2=0$平行，正确。
B. 斜率$-\frac{3k}{k + 2}×(-1)=-1$，$\frac{3k}{k + 2}=-1$，$k=-\frac{1}{2}$，正确。
C. $k(3x + y -10)+(2y - 2)=0$，过$(3,1)$，错误。
D. 原点到直线距离$d=\frac{|-10k - 2|}{\sqrt{9k^{2}+(k + 2)^{2}}}$，当$k=-1$时，$d=\frac{8}{\sqrt{10}}＜\sqrt{10}$，正确。

例2 已知$\triangle ABC$的顶点$A(1,2)$，$B(-3,2)$，直线$BC$的斜率为$\sqrt{3}$．
(1)求过点$A$，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．

答案： $2x - y=0$或$x + y - 3=0$
当截距为0时，设$y=kx$，过$A(1,2)$，$k=2$，方程$2x - y=0$。
当截距不为0时，设$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，过$A(1,2)$，$a=3$，方程$x + y - 3=0$。

(2)求$\angle ABC$的平分线所在的直线方程．

答案： $x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} + 3=0$
$B(-3,2)$，$BC$：$y - 2=\sqrt{3}(x + 3)$。设角平分线斜率为$k$，由夹角公式$\frac{k - 0}{1 + 0}=\frac{\sqrt{3} - k}{1 + \sqrt{3}k}$，解得$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$。方程$y - 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 3)$，即$x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} + 3=0$。

跟踪训练 (1)一束光线从点$A(-\sqrt{3},3)$射出，沿倾斜角为$150^{\circ}$的直线射到$x$轴上，经$x$轴反射后，反射光线所在直线的方程为 （ ）
A. $y=\sqrt{3}x - 2$
B. $y=-\sqrt{3}x + 2$
C. $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$
D. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$

答案： B
入射光线斜率$\tan150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，方程$y - 3=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x + \sqrt{3})$，与$x$轴交点$(2\sqrt{3},0)$。反射光线斜率$\frac{\sqrt{3}}{3}$，方程$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2\sqrt{3})$，即$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$，选项D。

(2)已知动直线$l:(2m + 1)x + (m + 1)y -7m - 4=0(m\in\mathbf{R})$与一点$M(4,0)$．当点$M$到直线$l$的距离最大时，直线$l$的一般式方程为________．

答案： $x - 3y + 2=0$
直线过定点$A(3,1)$，$M(4,0)$，$k_{AM}=-1$，距离最大时$l\perp AM$，斜率$1$。方程$y - 1=x - 3$，即$x - y - 2=0$。

例3 (1)直线$l_{1}:x - y + 1=0$到直线$l_{2}:2x - 2y + 3=0$的距离是 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. 1

答案： A
$l_{2}:x - y + \frac{3}{2}=0$，距离$d=\frac{|\frac{3}{2} - 1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

(2)已知直线$l_{1}:mx - y - 2m + 4=0(m\in\mathbf{R})$与直线$l_{2}:x + my - 2m - 4=0(m\in\mathbf{R})$相交于点$P$，则$P$到直线$x + y=0$的距离$d$的取值范围是 （ ）
A. $[2\sqrt{2},4\sqrt{2}]$
B. $[2\sqrt{3},4\sqrt{3})$
C. $(2\sqrt{2},4\sqrt{2}]$
D. $[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]$

答案： A
联立$l_{1},l_{2}$得$P(2,2)$，距离$d=\frac{|4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，取值范围$[2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$，选项A。

跟踪训练 (1)已知直线$l_{1}:x + y + C=0$与直线$l_{2}:Ax + By + C=0$交于点$(1,1)$，则原点到直线$l_{2}$距离的最大值为 （ ）
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 1

答案： B
$1 + 1 + C=0$，$C=-2$，$l_{2}:Ax + By - 2=0$过$(1,1)$，$A + B=2$。原点距离$d=\frac{2}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，$A^{2}+B^{2}\geq\frac{(A + B)^{2}}{2}=2$，$d\leq\sqrt{2}$。

(2)已知平行直线$l_{1}:x - 2y -7=0$和$l_{2}:x - ay - b=0$间的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$b=$________．

答案： $-6$或$-8$
$a=2$，距离$\frac{|-7 + b|}{\sqrt{1 + 4}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$|b - 7|=1$，$b=6$或$8$。