《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(3)在空间中，任意两个向量都可以进行加减运算。（ ）

答案： √

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(4)空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(5)空间向量的数乘运算中$\lambda$只决定向量的大小，不决定向量的方向。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(6)三角形法则适用于空间任意两个向量的减法运算。（ ）

答案： √

例1 (1)给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$\overrightarrow{AD_{1}}$与$\overrightarrow{BC_{1}}$是相等向量；④在空间四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$是相反向量；⑤在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，向量的模与$\overrightarrow{AA_{1}}$的模一定相等的一共有4个。其中正确命题的序号为______。

答案： ②③

例1 (2)如图，分别以长方体$ABCD-A'B'C'D'$的顶点为起点和终点的向量中：①试写出与向量$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量。②试写出向量$\overrightarrow{AA'}$的所有相反向量。

答案： ①$\overrightarrow{A'B'}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D'C'}$；②$\overrightarrow{A'A}$，$\overrightarrow{B'B}$，$\overrightarrow{C'C}$，$\overrightarrow{D'D}$

[多选题]下列说法错误的是（ ）A. 任意两个空间向量的模能比较大小B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C. 空间向量就是空间中的一条有向线段D. 不相等的两个空间向量的模必不相等

答案： BCD

例2 (1)[多选题]如图，在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列各式运算结果为$\overrightarrow{BD_{1}}$的是（ ）A. $\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}-\overrightarrow{AB}$B. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$C. $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DD_{1}}$D. $\overrightarrow{B_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{DD_{1}}$

答案： AB

例2 (2)化简：$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=$______。

答案： $\mathbf{0}$

活学活用：如图，已知空间四边形$ABCD$，连接$AC$，$BD$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$，$DB$的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果。(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}$。(2)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{CE}$。

答案：
(1)$\overrightarrow{AD}$；
(2)$\overrightarrow{AF}$