《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（ ）
(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（ ）
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程组联立、消元后得到的一元二次方程无解.（ ）
(4)过圆内一点一定能作圆的两条切线.（ ）
(5)若一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，则这条直线一定过圆心.（ ）

答案：
(1)× 直线与圆有公共点包括相交和相切两种情况。
(2)√ 方程组有一解时相切，两解时相交。
(3)√ 圆心到直线距离大于半径，直线与圆相离，方程组无解。
(4)× 过圆内一点不能作圆的切线。
(5)√ 圆中最长弦为直径，直径所在直线过圆心。

例1 已知直线方程$mx - y - m - 1 = 0$，圆的方程$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$. 当m为何值时，圆与直线满足下列条件？
(1)有两个公共点.
(2)只有一个公共点.
(3)没有公共点.

答案： 圆方程化为$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$，圆心(2,1)，半径r=2。
圆心到直线距离$d = \frac{|2m - 1 - m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$。
(1)有两个公共点，$d ＜ r$，$\frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} ＜ 2$，$(m - 2)^2 ＜ 4(m^2 + 1)$，$m^2 - 4m + 4 ＜ 4m^2 + 4$，$3m^2 + 4m ＞ 0$，解得$m ＜ -\frac{4}{3}$或$m ＞ 0$。
(2)只有一个公共点，$d = r$，$\frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$，解得$m = -\frac{4}{3}$或$m = 0$。
(3)没有公共点，$d ＞ r$，$\frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} ＞ 2$，解得$-\frac{4}{3} ＜ m ＜ 0$。