《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 如图，在棱长为1的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，O为平面$A_{1}ABB_{1}$的中心，E为BC的中点，求点O到直线$A_{1}E$的距离.

答案： $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
解析：以D为原点，$DA,DC,DD_1$为x,y,z轴建系。则$A_1(1,0,1)$，$E\left(\frac{1}{2},1,0\right)$，O为$A_1ABB_1$中心，坐标为$\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。$\overrightarrow{A_1E}=\left(-\frac{1}{2},1,-1\right)$，$\overrightarrow{A_1O}=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。
$|\overrightarrow{A_1E}|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+1^2+(-1)^2}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{A_1O}\cdot\overrightarrow{A_1E}=0×\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}×1+\left(-\frac{1}{2}\right)×(-1)=1$。
距离$d=\sqrt{|\overrightarrow{A_1O}|^2 - \left(\frac{|\overrightarrow{A_1O}\cdot\overrightarrow{A_1E}|}{|\overrightarrow{A_1E}|}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^2}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$。

活学活用 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，$PA\perp$平面ABCD，若已知$AB=3$，$AD=4$，$PA=1$，求点P到直线BD的距离.

答案： $\frac{13}{5}$
解析：以A为原点，$AB,AD,AP$为x,y,z轴建系。则$P(0,0,1)$，$B(3,0,0)$，$D(0,4,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-3,4,0)$，$\overrightarrow{BP}=(-3,0,1)$。
$|\overrightarrow{BD}|=5$，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BD}=(-3)×(-3)+0×4+1×0=9$。
距离$d=\sqrt{|\overrightarrow{BP}|^2 - \left(\frac{|\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BD}|}\right)^2}=\sqrt{10 - \left(\frac{9}{5}\right)^2}=\frac{13}{5}$。