《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)证明：G为$A_{1}D_{1}$的中点.

答案： 证明：以D为原点建系，设正方体棱长1，$E\left(1,\frac{1}{2},0\right)$，$F\left(\frac{1}{2},1,0\right)$，$H\left(0,\frac{1}{2},1\right)$。平面EFH方程为$4x + 4y + 2z = 5$，直线$A_1D_1$：$x=0,y=t,z=1$，代入得$t=\frac{1}{2}$，故$G(0,\frac{1}{2},1)$，为$A_1D_1$中点。

例1 (2)求异面直线$D_{1}F$与HE所成角的大小.

答案： $45°$
解析：$\overrightarrow{D_1F}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$，$\overrightarrow{HE}=\left(1,0,-1\right)$，$\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}+0 + 1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1 + 1}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta=45°$。

例2 (1)证明：$CM\perp SN$.

答案： 证明：以A为原点建系，$A(0,0,0)$ ，$C(0,1,0)$，$B(2,0,0)$，$P(0,0,1)$，$N\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$S(1,\frac{1}{2},0)$，$M(1,0,\frac{1}{2})$。$\overrightarrow{CM}=(1,-1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{SN}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{SN}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$，故$CM\perp SN$。

例2 (2)求SN与平面CMN所成角的大小.

答案： $30°$
解析：平面CMN法向量$\boldsymbol{n}=(2,2,1)$，$\overrightarrow{SN}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$，$\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{SN}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{SN}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{\frac{1}{2}}×3}=\frac{1}{2}$，$\theta=30°$。

(1)在正四棱锥$P - ABCD$中，$PA = AB = 2$，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $\frac{\sqrt{6}}{5}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

答案： C
解析：以正方形中心O为原点建系，$A(1,-1,0)$，$C(-1,1,0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$，$M(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$B(1,1,0)$。$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{BM}=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$\cos\theta=\frac{3 - 1}{\sqrt{8}×\sqrt{\frac{12}{4}}}=\frac{\sqrt{6}}{5}$，选C。

(2)在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E，F分别是$A_{1}D_{1},A_{1}C_{1}$的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是________.

答案： $\frac{2}{5}$
解析：以D为原点建系，棱长1，$E\left(0,\frac{1}{2},1\right)$，$F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$，$\overrightarrow{AE}=(-1,\frac{1}{2},1)$，$\overrightarrow{CF}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$，$\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+1}{\sqrt{\frac{9}{4}}×\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{5}$。