《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 如图，已知在斜三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，在$AC_1$和 BC 上分别有一点 M 和 N，且$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}$，其中$0\lt k\leqslant1$．求证：$MN//$平面$A_1ABB_1$．

答案： $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC_1}=k(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\boldsymbol{a}+k\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}+k(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=(1 - k)\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(1 - k)\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}-k\boldsymbol{b}-k\boldsymbol{c}=(1 - k)\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{c}$
因为$\overrightarrow{MN}$可用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}$表示，且$\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}$是平面$A_1ABB_1$内的向量，$MN\not\subset$平面$A_1ABB_1$，所以$MN//$平面$A_1ABB_1$

例4 在正四面体 ABCD 中，棱长为 a，M，N 分别是棱 AB，CD 上的点，且$MB = 2AM$，$CN=\frac{1}{2}ND$，求 MN 的长．

答案： 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{p},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{q},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{r}$，$|\boldsymbol{p}|=|\boldsymbol{q}|=|\boldsymbol{r}|=a$，$\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}=\frac{1}{2}a^2$
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\boldsymbol{p}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\boldsymbol{q}+\frac{1}{3}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{q})=\frac{2}{3}\boldsymbol{q}+\frac{1}{3}\boldsymbol{r}$
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{p}+\frac{2}{3}\boldsymbol{q}+\frac{1}{3}\boldsymbol{r}$
$|\overrightarrow{MN}|^2=\frac{1}{9}\boldsymbol{p}^2+\frac{4}{9}\boldsymbol{q}^2+\frac{1}{9}\boldsymbol{r}^2-\frac{4}{9}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}+\frac{2}{9}\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}-\frac{2}{9}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}=\frac{5}{9}a^2$，故$MN=\frac{\sqrt{5}}{3}a$

活学活用 如图，在空间中平移$\triangle ABC$到$\triangle A'B'C'$，连接对应顶点，设$\overrightarrow{AA'}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，M，E 分别是$B'C'$，$AA'$的中点，N 是$B'C'$上一点．
(1)若 N 为$B'C'$的中点，用向量法证明：$AM// EN$．
(2)若$AB = AC = 1$，$AA' = 2$，$\angle BAC = 60°$，$\angle ACC'=\angle ABB' = 90°$，求是否存在点 N 使得$AM\perp EN$，并说明理由．

答案：
(1)$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
$\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$，故$AM// EN$
(2)设$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB'}+\lambda\overrightarrow{B'C'}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\lambda(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}+(1 - \lambda)\boldsymbol{b}+\lambda\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE}=\boldsymbol{a}+(1 - \lambda)\boldsymbol{b}+\lambda\boldsymbol{c}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+(1 - \lambda)\boldsymbol{b}+\lambda\boldsymbol{c}$
$\overrightarrow{AM}=\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2×1×\cos90°=0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2×1×\cos90°=0$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1×1×\cos60°=\frac{1}{2}$
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{EN}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^2+(1 - \lambda)\cdot\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2+\lambda\cdot\frac{1}{2}|\boldsymbol{c}|^2+\left[\frac{1}{2}(1 - \lambda)+\frac{1}{2}\lambda\right]\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=2+\frac{1 - \lambda}{2}+\frac{\lambda}{2}+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}\neq0$，故不存在