《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 已知圆$C_1:x^2 + y^2 - 2ax - 2y + a^2 - 15 = 0$，圆$C_2:x^2 + y^2 - 4ax - 2y + 4a^2 = 0(a ＞ 0)$.试求a为何值时，两圆$C_1,C_2$的位置关系为：
(1)相切.
(2)相交.
(3)外离.
(4)内含.

答案：
(1)a=5或a=√15
圆$C_1$：$(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 16$，圆心$(a,1)$，半径$r_1 = 4$；圆$C_2$：$(x - 2a)^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心$(2a,1)$，半径$r_2 = 1$。圆心距$d = |2a - a| = a$。
相切：$d = r_1 + r_2 = 5$或$d = |r_1 - r_2| = 3$，即$a = 5$或$a = 3$。
(2)3 ＜ a ＜ 5
相交：$|r_1 - r_2| ＜ d ＜ r_1 + r_2$，即$3 ＜ a ＜ 5$。
(3)a ＞ 5
外离：$d ＞ r_1 + r_2$，即$a ＞ 5$。
(4)0 ＜ a ＜ 3
内含：$d ＜ |r_1 - r_2|$，即$0 ＜ a ＜ 3$。

例2 已知圆$C_1:x^2 + y^2 + 6x - 4 = 0$和圆$C_2:x^2 + y^2 + 6y - 28 = 0$，求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.

答案： 公共弦方程：$x - y + 4 = 0$，弦长：$2\sqrt{2}$
两圆方程相减：$(x^2 + y^2 + 6x - 4) - (x^2 + y^2 + 6y - 28) = 0$，得$6x - 6y + 24 = 0$，即$x - y + 4 = 0$。圆$C_1$：$(x + 3)^2 + y^2 = 13$，圆心$(-3,0)$，半径$r = \sqrt{13}$。圆心到直线距离$d = \frac{|-3 - 0 + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，弦长$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{13 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{25}{2}} = 5\sqrt{2}$。

活学活用
若圆$C_1:x^2 + y^2 = 1$与圆$C_2:(x - a)^2 + (y - b)^2 = 1$的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A. $2ax + by - 1 = 0$
B. $2ax + by - 3 = 0$
C. $2ax + 2by - 1 = 0$
D. $2ax + 2by - 3 = 0$

答案： D
两圆方程相减得公共弦方程：$2ax + 2by - a^2 - b^2 = 0$。圆$C_1$圆心到直线距离$d = \frac{| - a^2 - b^2 |}{\sqrt{(2a)^2 + (2b)^2}} = \frac{a^2 + b^2}{2\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$。弦长$1 = 2\sqrt{1 - d^2}$，$d^2 = \frac{3}{4}$，$\frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{3}{4}$，$a^2 + b^2 = 3$。直线方程为$2ax + 2by - 3 = 0$。

活学活用
(1)圆$C_1:x^2 + y^2 = 4$与圆$C_2:(x - 3)^2 + y^2 = 1$的位置关系为（ ）
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切

答案： B
圆心$C_1(0,0)$，$C_2(3,0)$，半径$r_1 = 2$，$r_2 = 1$。圆心距$d = 3 = r_1 + r_2$，外切。

(2)圆$C_1:x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$与圆$C_2:(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = a(a ＞ 0)$恰有三条公切线，则实数a的值是（ ）
A. 4
B. 6
C. 16
D. 36

答案： C
圆$C_1$：$(x - 2)^2 + y^2 = 1$，圆心$(2,0)$，半径$r_1 = 1$；圆$C_2$圆心$(-1,4)$，半径$r_2 = \sqrt{a}$。两圆外切时有三条公切线，圆心距$d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (0 - 4)^2} = 5 = 1 + \sqrt{a}$，$\sqrt{a} = 4$，$a = 16$。