《2025年万唯中考情境题七年级数学上册苏科版》

13. 下列各组数中,运算结果相等的是 (B)
A.$-4^{3}和3^{4}$
B.$-5^{3}和(-5)^{3}$
C.$-4^{2}和(-4)^{2}$
D.$(\frac{2}{3})^{3}和(\frac{3}{2})^{2}$

答案： B 【解析】$-4^3=-64$,$3^4=81$,A选项不符合题意;$-5^3=-125$,$(-5)^3=-125$,B选项符合题意;$-4^2=-16$,$(-4)^2=16$,C选项不符合题意;$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$,$\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$,D选项不符合题意.

14. 若a,b均为正整数,且满足$5^{a}+5^{a}+5^{a}+5^{a}+5^{a}= 5^{b}×5^{b}×5^{b}×5^{b}×5^{b}$,则下列式子中能正确表示a和b的关系的是 (A)
A.$a + 1 = 5b$
B.$5a = b$
C.$a = 5b$
D.$a + 1 = b^{5}$

答案： A 【解析】因为$5^a+5^a+5^a+5^a+5^a=5×5^a=5^{a+1}$,$5^b×5^b×5^b×5^b×5^b=5^{5b}$,所以$5^{a+1}=5^{5b}$,所以$a+1=5b$.

15. (教材问题改编)如图是一个面积为$6cm^{2}$的大等边三角形,第1次裁去一半,第2次裁去剩余的一半,…,以此类推,第9次裁去后剩余部分的面积为 (B)
A.$(6×\frac{1}{2^{8}})cm^{2}$
B.$(6×\frac{1}{2^{9}})cm^{2}$
C.$[6-(6×\frac{1}{2^{8}})]cm^{2}$
D.$[6-(6×\frac{1}{2^{9}})]cm^{2}$

答案： B 【解析】由题图可知,第1次裁去后剩余部分的面积为$\left(6×\frac{1}{2}\right)\text{cm}^2$,第2次裁去后剩余$\left(6×\frac{1}{2^2}\right)\text{cm}^2$,第3次裁去后剩余$\left(6×\frac{1}{2^3}\right)\text{cm}^2$,...,所以第9次裁去后剩余$\left(6×\frac{1}{2^9}\right)\text{cm}^2$.

16. 已知有理数$(a - 2)^{4}+|b + 3| = 0$,则$b^{a}$的值为____9.

答案： 9 【解析】由题意可得$a-2=0$,$b+3=0$,$a=2$,$b=-3$,所以$b^a=(-3)^2=9$.

17. 根据乘方的意义可得:$2^{4}= 2×2×2×2,3^{4}= 3×3×3×3$,所以$(2×3)^{4}= (2×3)×(2×3)×(2×3)×(2×3)= (2×2×2×2)×(3×3×3×3)= 2^{4}×3^{4}$.请根据上述方法计算:
(1)$4^{200}×5^{200}=$$20^{200}$;
(2)$1.5^{2023}×(\frac{2}{3})^{2024}$=$\frac{2}{3}$.

答案：
(1)$20^{200}$; 【解法提示】$4^{200}×5^{200}=(4×5)^{200}=20^{200}$.
(2)$1.5^{2023}×\left(\frac{2}{3}\right)^{2024}$
$=\left(\frac{3}{2}\right)^{2023}×\left(\frac{2}{3}\right)^{2024}$
$=\left(\frac{3}{2}×\frac{2}{3}\right)^{2023}×\frac{2}{3}$
$=\frac{2}{3}$.

18. (中考新考法·阅读理解题)阅读材料,根据材料中的方法解答下列问题:
求$3 + 3^{2}+3^{3}+…+3^{49}+3^{50}$的值.
解:设$S = 3 + 3^{2}+3^{3}+…+3^{49}+3^{50}$①,
则$3S = 3^{2}+3^{3}+…+3^{50}+3^{51}$②,
②-①,得$3S - S = (3^{2}+3^{3}+…+3^{50}+3^{51})-(3 + 3^{2}+…+3^{49}+3^{50}) = 3^{51}-3$,
所以$2S = 3^{51}-3$,即$S = \frac{3^{51}-3}{2}$,
所以$3 + 3^{2}+3^{3}+…+3^{49}+3^{50} = \frac{3^{51}-3}{2}$.
(1)计算$1 + 2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{99}+2^{100}$的值;
(2)计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{50}}$的值.

答案：
(1)设$S=1+2^1+2^2+2^3+\dots +2^{99}+2^{100}$①,
则$2S=2^1+2^2+2^3+\dots +2^{99}+2^{100}+2^{101}$②,
②-①,得$2S-S=(2^1+2^2+2^3+\dots +2^{99}+2^{100}+2^{101})-(1+2^1+2^2+2^3+\dots +2^{99}+2^{100})=2^{101}-1$,
即$S=2^{101}-1$,
所以$1+2^1+2^2+2^3+\dots +2^{99}+2^{100}=2^{101}-1$;
(2)设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^{50}}$①,
则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\dots +\frac{1}{2^{49}}$②,
②-①,得$2S-S=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\dots +\frac{1}{2^{49}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^{50}}\right)=1-\frac{1}{2^{50}}$,
即$S=1-\frac{1}{2^{50}}$,
所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^{50}}=1-\frac{1}{2^{50}}$.