《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

18. (10分)(2025·南京校级月考)某体育用品商店出售的羽毛球拍和羽毛球的进价、售价如表：
| | 进价/元 | 售价/元 |
| 羽毛球拍 | 100元/副 | $(100 + a)$元/副 |
| 羽毛球 | 2元/只 | $(2 + b)$元/只 |
某中学计划从该体育用品商店购买20副羽毛球拍,1050只羽毛球.
(1)该中学需花费多少元？(结果用含$a$,$b$的代数式表示)
$20a + 1050b + 4100$
(2)①“双十一”期间,该商店推出了两种不同的促销方案：
方案一：每购买一副羽毛球拍赠送20只羽毛球；
方案二：每购买150只羽毛球,赠送1副羽毛球拍.
分别按方案一、方案二购买,各需花费多少元？(结果用含$a$,$b$的代数式表示)
方案一：$20a + 650b + 3300$；方案二：$13a + 1050b + 3400$
②若$a = 80$,$b = 1$,在允许两种方案可以同时使用的情况下,该中学最少需花费______元.
4950

答案：
(1) $ 20 ( 100 + a ) + 1 050 ( 2 + b ) = 2 000 + 20 a + 2 100 + 1 050 b = 20 a + 1 050 b + 4 100 $。答：该中学需花费 $ ( 20 a + 1 050 b + 4 100 ) $ 元。
(2) ①按方案一的消费为 $ 20 ( 100 + a ) + ( 1 050 - 20 × 20 ) ( 2 + b ) = 2 000 + 20 a + 650 ( 2 + b ) = 2 000 + 20 a + 1 300 + 650 b = 20 a + 650 b + 3 300 $，按方案二的消费为 $ ( 20 - 1 050 ÷ 150 ) ( 100 + a ) + 1 050 ( 2 + b ) = ( 20 - 7 ) ( 100 + a ) + 2 100 + 1 050 b = 13 ( 100 + a ) + 2 100 + 1 050 b = 1 300 + 13 a + 2 100 + 1 050 b = 13 a + 1 050 b + 3 400 $。答：按方案一购买需花费 $ ( 20 a + 650 b + 3 300 ) $ 元，按方案二购买需花费 $ ( 13 a + 1 050 b + 3 400 ) $ 元。②4 950 解析:当 $ a = 80 $，$ b = 1 $ 时，按方案一购买的花费为 $ 20 a + 650 b + 3 300 = 20 × 80 + 650 × 1 + 3 300 = 5 550 $（元），按方案二购买的花费为 $ 13 a + 1 050 b + 3 400 = 13 × 80 + 1 050 × 1 + 3 400 = 1 040 + 1 050 + 3 400 = 5 490 $（元），若两种方案同时使用，则为方案三:先买 750 只羽毛球，则送 5 副球拍，同时再买 15 副球拍，则送 300 个羽毛球，则花费为 $ ( 20 - 5 ) × ( 100 + 80 ) + ( 1 050 - 300 ) × ( 2 + 1 ) = 15 × 180 + 750 × 3 = 2 700 + 2 250 = 4 950 $（元），因为 $ 5 550 \gt 5 490 \gt 4 950 $，所以两种方案同时购买的花费最少，为 4 950 元。

19. (11分)已知$b$是最小的正整数,且$a$,$b$,$c满足(c - 5)^{2} + |a + b| = 0$,请回答问题：

(1)$a = $$-1$,$b = $$1$,$c = $$5$.
(2)如图,$a$,$b$,$c所对应的点分别为A$,$B$,$C$,点$P$为一动点,其对应的数为$x$,点$P$在0到2之间运动时,请化简式子：$|x + b| - |x + a| + 2|x + c|$.(请写出化简过程)
将$a$，$b$，$c$的值代入得$|x + b| - |x + a| + 2|x + c| = |x + 1| - |x - 1| + 2|x + 5|$，当$0 \leqslant x \leqslant 1$时，$x + 1 \gt 0$，$x - 1 \leqslant 0$，$x + 5 \gt 0$，所以原式$=(x + 1) + (x - 1) + 2(x + 5) = 4x + 10$；当$1 \lt x \leqslant 2$时，$x + 1 \gt 0$，$x - 1 \gt 0$，$x + 5 \gt 0$，所以原式$=(x + 1) - (x - 1) + 2(x + 5) = 2x + 12$。
(3)在(2)的条件下,点$A$,$B$,$C$开始在数轴上运动,若点$A$以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点$B和点C$分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设$t$秒过后,若点$B与点C之间的距离表示为BC$,点$A与点B之间的距离表示为AB$,请问：$BC - AB的值是否随着时间t$的变化而改变？若改变,请说明理由；若不变,请求其值.
$BC - AB$的值不随着时间$t$的变化而改变，其值为2。理由如下：$t$秒过后，点$A$对应的数为$-1 - t$，点$B$对应的数为$1 + t$，点$C$对应的数为$5 + 3t$，点$B$与点$C$之间的距离$BC = 5 + 3t - (1 + t) = 4 + 2t$，点$A$与点$B$之间的距离$AB = 1 + t - (-1 - t) = 2 + 2t$，$BC - AB = 4 + 2t - (2 + 2t) = 2$，即$BC - AB$的值不随着时间$t$的变化而改变，其值为2。

答案：
(1) $ - 1 $ 1 5
(2) 将 $ a $，$ b $，$ c $ 的值代入得 $ | x + b | - | x + a | + 2 | x + c | = | x + 1 | - | x - 1 | + 2 | x + 5 | $，当 $ 0 \leqslant x \leqslant 1 $ 时，$ x + 1 \gt 0 $，$ x - 1 \leqslant 0 $，$ x + 5 \gt 0 $，所以原式 $ = ( x + 1 ) + ( x - 1 ) + 2 ( x + 5 ) = 4 x + 10 $；当 $ 1 \lt x \leqslant 2 $ 时，$ x + 1 \gt 0 $，$ x - 1 \gt 0 $，$ x + 5 \gt 0 $，所以原式 $ = ( x + 1 ) - ( x - 1 ) + 2 ( x + 5 ) = 2 x + 12 $。
(3) $ BC - AB $ 的值不随着时间 $ t $ 的变化而改变，其值为 2。理由如下：$ t $ 秒过后，点 $ A $ 对应的数为 $ - 1 - t $，点 $ B $ 对应的数为 $ 1 + t $，点 $ C $ 对应的数为 $ 5 + 3 t $，点 $ B $ 与点 $ C $ 之间的距离 $ BC = 5 + 3 t - ( 1 + t ) = 4 + 2 t $，点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的距离 $ AB = 1 + t - ( - 1 - t ) = 2 + 2 t $，$ BC - AB = 4 + 2 t - ( 2 + 2 t ) = 2 $，即 $ BC - AB $ 的值不随着时间 $ t $ 的变化而改变，其值为 2。