《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

1. 如图, 在直线 $ l $ 上顺次取 $ A, B, C $ 三点, 使得 $ A B= 40 \mathrm{~cm}, B C= 280 \mathrm{~cm} $, 点 $ P $、点 $ Q $ 分别从点 $ A $、点 $ B $ 同时出发向点 $ C $ 运动, 点 $ P $ 的速度为 $ 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $, 点 $ Q $ 的速度为 $ 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $.
(1) 如果点 $ D $ 是线段 $ AC $ 的中点, 那么线段 $ BD $ 的长是______ $ \mathrm{cm} $.
(2) ①求点 $ P $ 出发多少秒后追上点 $ Q $;
②点 $ P $ 出发多少秒后与点 $ Q $ 的距离是 $ 20 \mathrm{~cm} $?

120
①设点 $ P $ 出发 $ t \, \text{s} $ 后追上点 $ Q $，由题意得 $ 3t = t + 40 $，解得 $ t = 20 $，所以点 $ P $ 出发 $ 20 \, \text{s} $ 后追上点 $ Q $。
②当点 $ P $ 在点 $ Q $ 的左侧时，$ 3t + 20 = 40 + t $，解得 $ t = 10 $；当点 $ P $ 在点 $ Q $ 的右侧时，$ 3t = 40 + t + 20 $，解得 $ t = 30 $，所以点 $ P $ 出发 $ 10 \, \text{s} $ 或 $ 30 \, \text{s} $ 后与点 $ Q $ 的距离是 $ 20 \, \text{cm} $。

答案： 1.
(1) 120 解析: 因为 $ AB + BC = AC $，所以 $ AC = 320 \, \text{cm} $。因为点 $ D $ 是线段 $ AC $ 的中点，所以 $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 320 = 160 \, \text{cm} $，所以 $ BD = AD - AB = 160 - 40 = 120 \, \text{cm} $。故答案为 120。
(2) ①设点 $ P $ 出发 $ t \, \text{s} $ 后追上点 $ Q $，由题意得 $ 3t = t + 40 $，解得 $ t = 20 $，所以点 $ P $ 出发 $ 20 \, \text{s} $ 后追上点 $ Q $。
②当点 $ P $ 在点 $ Q $ 的左侧时，$ 3t + 20 = 40 + t $，解得 $ t = 10 $；当点 $ P $ 在点 $ Q $ 的右侧时，$ 3t = 40 + t + 20 $，解得 $ t = 30 $，所以点 $ P $ 出发 $ 10 \, \text{s} $ 或 $ 30 \, \text{s} $ 后与点 $ Q $ 的距离是 $ 20 \, \text{cm} $。

2. (2025·广州期末) 如图, 点 $ A, B, C $ 是数轴上顺次的三个点, 动点 $ P, Q $ 分别从点 $ B $ 和点 $ C $ 同时出发沿数轴向左运动, 点 $ P $ 和点 $ Q $ 的速度分别为 1 个单位长度/秒和 2 个单位长度/秒, 设运动时间为 $ t \mathrm{~s} $, 点 $ D $ 是 $ P Q $ 的中点.
(1) 若 $ B C= 4 $, 当 $ t $ 取何值时, 点 $ Q $ 追上点 $ P $?
(2) 若 $ B C= 2 A B= 4 $, 设 $ S= k \cdot P D-P A $, 是否存在常数 $ k $, 使得 $ S $ 在某段时间内为定值? 若存在, 求出 $ k $ 的值, 若不存在, 请说明理由.

答案：
2.
(1) 由题可知，$ BP = t $，$ CQ = 2t $，因为 $ BC = 4 $，所以 $ 2t = t + 4 $，解得 $ t = 4 $，即当 $ t = 4 $ 时，点 $ Q $ 追上点 $ P $。
(2) 存在，因为 $ BC = 2AB $，$ BC = 4 $，所以 $ AB = 2 $，如图，以 $ B $ 为原点建立数轴，则 $ A $ 表示的数为 $ -2 $，$ C $ 表示的数为 $ 4 $，所以动点 $ P $ 表示的数为 $ -t $，$ Q $ 表示的数为 $ 4 - 2t $，所以点 $ D $ 表示的数为 $ \frac{-t + 4 - 2t}{2} = 2 - \frac{3}{2}t $，所以 $ PD = \left| 2 - \frac{1}{2}t \right| $，$ PA = |2 - t| $，则 $ S = k \cdot PD - PA = k \cdot \left| 2 - \frac{1}{2}t \right| - |2 - t| $，令 $ 2 - \frac{1}{2}t = 0 $，解得 $ t = 4 $，令 $ 2 - t = 0 $，解得 $ t = 2 $。
①当 $ 0 ＜ t ＜ 2 $ 时，$ S = k \left( 2 - \frac{1}{2}t \right) - (2 - t) = \left( 1 - \frac{1}{2}k \right)t + 2k - 2 $，当 $ 1 - \frac{1}{2}k = 0 $，即 $ k = 2 $ 时，$ S = 2 $ 是定值；
②当 $ 2 \leq t \leq 4 $ 时，$ S = k \left( 2 - \frac{1}{2}t \right) - (t - 2) = \left( -1 - \frac{1}{2}k \right)t + 2k + 2 $，当 $ -1 - \frac{1}{2}k = 0 $，即 $ k = -2 $ 时，$ S = -2 $ 为定值；
③当 $ t ＞ 4 $ 时，$ S = k \left( \frac{1}{2}t - 2 \right) - (t - 2) = \left( \frac{1}{2}k - 1 \right)t - 2k + 2 $，当 $ \frac{1}{2}k - 1 = 0 $，即 $ k = 2 $ 时，$ S = -2 $ 为定值。综上所述，$ k = \pm 2 $ 时，$ S $ 为定值。