《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

18. (10分)若关于$x的方程ax + b = 0(a\neq0)的解与关于y的方程cy + d = 0(c\neq0)的解满足\vert x - y\vert = 1$,则称方程$ax + b = 0(a\neq0)与方程cy + d = 0(c\neq0)$是“美好方程”。例如：方程$2x + 1 = 5的解是x = 2$,方程$y - 1 = 0的解是y = 1$,$\vert x - y\vert = 1$,方程$2x + 1 = 5与方程y - 1 = 0$是“美好方程”。
(1)请判断方程$5x - 3 = 2与方程2(y + 1)= 3$是不是“美好方程”,并说明理由；
(2)若关于$x的方程\frac{3x + k}{2}-x = 2k + 1与关于y的方程4y - 1 = 3$是“美好方程”,请求出$k$的值；
(3)若无论$m$取任何有理数,关于$x的方程\frac{2x + ma}{3}-\frac{b}{2}= m(a,b为常数)与关于y的方程y + 1 = 2y - 5$是“美好方程”,求$ab$的值。

答案：
(1) 不是.理由如下:因为 $ 5x - 3 = 2 $ 的解为 $ x = 1 $, $ 2(y + 1) = 3 $ 的解为 $ y = \frac{1}{2} $,所以 $ |x - y| = \left|1 - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \neq 1 $,所以方程 $ 5x - 3 = 2 $ 与方程 $ 2(y + 1) = 3 $ 不是“美好方程”.
(2) 因为 $ \frac{3x + k}{2} - x = 2k + 1 $ 的解为 $ x = 3k + 2 $, $ 4y - 1 = 3 $ 的解为 $ y = 1 $,且 $ \frac{3x + k}{2} - x = 2k + 1 $ 与 $ 4y - 1 = 3 $ 是“美好方程”,所以 $ |x - y| = |3k + 2 - 1| = 1 $,所以 $ k = 0 $ 或 $ k = -\frac{2}{3} $.
(3) 因为 $ y + 1 = 2y - 5 $ 的解为 $ y = 6 $,关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2x + ma}{3} - \frac{b}{2} = m $ ($ a,b $ 为常数)与关于 $ y $ 的方程 $ y + 1 = 2y - 5 $ 是“美好方程”,所以 $ |x - y| = 1 $,所以 $ x = 5 $ 或 $ x = 7 $,所以 $ \frac{2x + ma}{3} - \frac{b}{2} = m $ 的解为 $ x = 5 $ 或 $ x = 7 $. ① 当 $ x = 5 $ 时, $ \frac{10 + ma}{3} - \frac{b}{2} = m $,所以 $ (2a - 6)m = -20 + 3b $. 因为无论 $ m $ 取任何有理数都成立,所以 $ 2a - 6 = 0 $, $ -20 + 3b = 0 $,所以 $ a = 3 $, $ b = \frac{20}{3} $,所以 $ ab = 20 $; ② 当 $ x = 7 $ 时, $ \frac{14 + ma}{3} - \frac{b}{2} = m $,所以 $ (2a - 6)m = 3b - 28 $. 因为无论 $ m $ 取任何有理数都成立,所以 $ 2a - 6 = 0 $, $ 3b - 28 = 0 $,所以 $ a = 3 $, $ b = \frac{28}{3} $,所以 $ ab = 28 $. 综上所述, $ ab $ 的值为 20 或 28.

19. (12分)已知数轴上点$A与点B$的距离为16个单位长度,点$A$在原点的左侧,到原点的距离为26个单位长度,点$B在点A$的右侧,点$C表示的数与点B$表示的数互为相反数,动点$P从点A$出发,以每秒1个单位长度的速度向终点$C$移动,设移动时间为$t$s。
(1)点$A$表示的数为-26,点$B$表示的数为-10,点$C$表示的数为10。
(2)用含$t的代数式表示动点P到点A和点C$的距离：$PA= $$t$,$PC= $$36 - t$。
(3)当点$P运动到点B$时,点$Q从点A$出发,以每秒3个单位长度的速度向点$C$运动,点$Q到达点C$后,再立即以同样的速度返回,最后回到点$A$。
①在点$Q向点C$运动的过程中,能否追上点$P$？若能,请求出点$Q运动几秒追上点P$。
②在点$Q$开始运动后,$P$,$Q$两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能,请求出此时点$P$表示的数；如果不能,请说明理由。
(3)① 能,在点 $ Q $ 向点 $ C $ 运动的过程中,设点 $ Q $ 运动 $ m \, \text{s} $ 追上点 $ P $,根据题意,得 $ 3m = m + 16 $,解得 $ m = 8 $.即在点 $ Q $ 向点 $ C $ 运动的过程中,点 $ Q $ 运动 8 s 即可追上点 $ P $. ② 能,设点 $ Q $ 运动时间为 $ x \, \text{s} $,分下面 4 种情况:当点 $ Q $ 从点 $ A $ 向点 $ C $ 运动时,如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的左侧,则根据题意可得 $ x + 16 - 3x = 2 $,解得 $ x = 7 $,此时点 $ P $ 表示的数是 -3;如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的右侧,则根据题意可得 $ 3x - (x + 16) = 2 $,解得 $ x = 9 $,此时点 $ P $ 表示的数是 -1;当点 $ Q $ 从点 $ C $ 返回到点 $ A $ 时,如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的右侧,则根据题意可得 $ 3x + (x + 16) + 2 = 2 × 36 $,解得 $ x = \frac{27}{2} $,此时点 $ P $ 表示的数是 $ \frac{7}{2} $;如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的左侧,则根据题意可得 $ 3x + (x + 16) = 2 × 36 + 2 $,解得 $ x = \frac{29}{2} $,此时点 $ P $ 表示的数是 $ \frac{9}{2} $.即在点 $ Q $ 开始运动后, $ P,Q $ 两点之间的距离能为 2 个单位长度,此时点 $ P $ 表示的数分别是 $ -3,-1,\frac{7}{2},\frac{9}{2} $.

答案：
(1) -26 -10 10
(2) $ t $ $ 36 - t $
(3) ① 能,在点 $ Q $ 向点 $ C $ 运动的过程中,设点 $ Q $ 运动 $ m \, \text{s} $ 追上点 $ P $,根据题意,得 $ 3m = m + 16 $,解得 $ m = 8 $.即在点 $ Q $ 向点 $ C $ 运动的过程中,点 $ Q $ 运动 8 s 即可追上点 $ P $. ② 能,设点 $ Q $ 运动时间为 $ x \, \text{s} $,分下面 4 种情况:当点 $ Q $ 从点 $ A $ 向点 $ C $ 运动时,如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的左侧,则根据题意可得 $ x + 16 - 3x = 2 $,解得 $ x = 7 $,此时点 $ P $ 表示的数是 -3;如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的右侧,则根据题意可得 $ 3x - (x + 16) = 2 $,解得 $ x = 9 $,此时点 $ P $ 表示的数是 -1;当点 $ Q $ 从点 $ C $ 返回到点 $ A $ 时,如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的右侧,则根据题意可得 $ 3x + (x + 16) + 2 = 2 × 36 $,解得 $ x = \frac{27}{2} $,此时点 $ P $ 表示的数是 $ \frac{7}{2} $;如果点 $ Q $ 在点 $ P $ 的左侧,则根据题意可得 $ 3x + (x + 16) = 2 × 36 + 2 $,解得 $ x = \frac{29}{2} $,此时点 $ P $ 表示的数是 $ \frac{9}{2} $.即在点 $ Q $ 开始运动后, $ P,Q $ 两点之间的距离能为 2 个单位长度,此时点 $ P $ 表示的数分别是 $ -3,-1,\frac{7}{2},\frac{9}{2} $.