《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

10.教材P142练习T2变式 如图,左边的几何体叫三棱柱,它有5个面,9条棱,6个顶点,中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱.

(1)四棱柱有8个顶点,12条棱,6个面.
(2)五棱柱有10个顶点,15条棱,7个面.
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点,几条棱,几个面吗?
六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面。
(4)n棱柱有几个顶点,几条棱,几个面?
n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面。

答案：
(1) 8 12 6
(2) 10 15 7
(3) 能. 六棱柱有 12 个顶点，18 条棱，8 个面；七棱柱有 14 个顶点，21 条棱，9 个面.
(4) n棱柱有2n个顶点，3n 条棱，(n + 2) 个面

11.探究:如图,将一个正方体表面全部涂上颜色.
(1)把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为$x_{i}$,那么$x_{3}= $8,$x_{2}= $12,$x_{1}= $6,$x_{0}= $1;
(2)如果把正方体的棱四等分,同样沿等分线把正方体切开,得到64个小正方体,那么$x_{3}= $8,$x_{2}= $24,$x_{1}= $24,$x_{0}= $8;
(3)如果将这个正方体的棱n等分(n大于3),沿等分线把正方体切开,得到$n^{3}$个小正方体,且满足$2x_{2}-x_{3}= 208$,求n的值.由 (1)(2) 可得 $x_3 = 8$，$x_2 = 12(n - 2)$，代入 $2x_2 - x_3 = 208$，即 $2×12(n - 2) - 8 = 208$，解得 $n = 11$.

答案：
(1) 8 12 6 1 解析：由题图可知，3 个面涂色的小正方体在原正方体的顶点处，共有 8 个，故 $x_3 = 8$；2 个面涂色的小正方体在每条棱的中间处，共有 12 个，故 $x_2 = 12$；1 个面涂色的小正方体在原正方体每个面的中心处，共有 6 个，故 $x_1 = 6$；没有涂色的小正方体在原正方体的中心处，有 1 个，故 $x_0 = 1$，故答案为 8，12，6，1.；
(2) 8 24 24 8；
(3) 由
(1)
(2) 可得 $x_3 = 8$，$x_2 = 12(n - 2)$，代入 $2x_2 - x_3 = 208$，即 $2×12(n - 2) - 8 = 208$，解得 $n = 11$.

12.若将棱长为2的正方体切成8个棱长为1的小正方体,则所有小正方体表面积的和是原正方体表面积的2倍;若将棱长为3的正方体切成27个棱长为1的小正方体,则所有小正方体表面积的和是原正方体表面积的3倍;若将棱长为$n(n＞1$,n为整数)的正方体切成$n^{3}$个棱长为1的小正方体,则所有小正方体表面积的和是原正方体表面积的n倍.

答案： 2 3 $n$ 解析：棱长为 $n(n ＞ 1$，$n$ 为整数) 的正方体的表面积是 $6n^2$，把它切成 $n^3$ 个棱长为 1 的小正方体，则每个小正方体的表面积是 6，则所有小正方体表面积的和是 $6n^3$，所以所有小正方体表面积的和是原正方体表面积的 $n$ 倍.

13.十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:


(1)根据图中的多面体模型,完成表格:

|多面体|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|

|四面体|4|4|6|

|长方体|8|6|12|

|正八面体|6|8|12|

|正十二面体|20|12|30|

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是:E = V + F - 2.

(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是20.

(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,每个顶点处都有3条棱,且每个顶点都是3个面的交点,已知共有棱36条.求该多面体外表面三角形的个数.
因为 $E = 36 = \frac{3V}{2}$，所以 $V = 24$。又因为 $V + F - E = 2$，所以 $F = 14$。设三角形的个数为 $x$，则八边形的个数为 $14 - x$，每个三角形有 3 个顶点，每个八边形有 8 个顶点，且因为每个顶点都是 3 个面的交点，共有 24 个顶点，所以 $\frac{3x + 8(14 - x)}{3} = 24$，解得 $x = 8$，所以该多面体外面三角形的个数为 8。

答案：
(1) 6 6 $E = V + F - 2$；
(2) 20 解析：由题意得 $F - 8 + F - 30 = 2$，解得 $F = 20$. 故答案为 20.；
(3) 因为 $E = 36 = \frac{3V}{2}$，所以 $V = 24$. 又因为 $V + F - E = 2$，所以 $F = 14$. 设三角形的个数为 $x$，则八边形的个数为 $14 - x$，每个三角形有 3 个顶点，每个八边形有 8 个顶点，且因为每个顶点都是 3 个面的交点，共有 24 个顶点，所以 $\frac{3x + 8(14 - x)}{3} = 24$，解得 $x = 8$，所以该多面体外面三角形的个数为 8.