《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

9. (2024·漯河校级期末)如果$∠α和∠β$互补,且$∠α＞∠β$,则下列表示$∠β$的余角的式子:①$90^{\circ }-∠β$;②$∠α-90^{\circ }$;③$\frac {1}{2}(∠α+∠β)$;④$\frac {1}{2}(∠α-∠β)$.其中正确的是______.(填序号)①②④

答案： ①②④ 解析：因为$∠α$和$∠β$互补，所以$∠α + ∠β = 180^{\circ}$。因为$90^{\circ}-∠β + ∠β = 90^{\circ}$，所以①正确；因为$∠α - 90^{\circ}+∠β = ∠α + ∠β - 90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，所以②正确；因为$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)+∠β=\frac{1}{2}×180^{\circ}+∠β = 90^{\circ}+∠β ≠ 90^{\circ}$，所以③错误；因为$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)+∠β=\frac{1}{2}(∠α + ∠β)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，所以④正确。综上可知，①②④正确。

10. 如图,先找到长方形纸的宽$DC的中点E$,将$∠C过点E$折起任意一个角,折痕是$EF$,再将$∠D过点E$折起,使$DE和C'E$重合,折痕是$GE$,请探索下列问题:
(1)$∠FEC'和∠GEC'$互为余角吗? 为什么?
(2)$∠GEF$是直角吗? 为什么?
(3)在上述折纸图形中,还有哪些角互为余角? 还有哪些角互为补角? 各写出四对即可.

答案：
(1)$∠FEC'$和$∠GEC'$互为余角。理由如下：根据折叠得$∠3 = ∠1$，$∠4 = ∠2$。因为$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180^{\circ}$，所以$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，即$∠FEC' + ∠GEC' = 90^{\circ}$，故$∠FEC'$和$∠GEC'$互为余角。
(2)$∠GEF$是直角。理由：由
(1)知$∠GEF = ∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，所以$∠GEF$是直角。
(3)答案合理即可，如：互余的角有$∠3$和$∠4$，$∠1$和$∠EFC'$，$∠2$和$∠EGC'$，$∠3$和$∠EFC$等；互补的角有$∠AGF$和$∠DGF$，$∠CEC'$和$∠DEC'$，$∠AGE$和$∠EGD$，$∠BFG$和$∠CFG$等。

11. (2025·合肥期末)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角与这个角互余,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角,若射线$OC$,$OD在∠AOB$的内部,且$∠COD+∠AOB= 90^{\circ }$,则$∠COD是∠AOB$的内余角.
根据以上信息,解决下面的问题:
(1)如图①,$∠AOB= 70^{\circ },∠AOC= 20^{\circ }$,若$∠COD是∠AOB$的内余角,则$∠BOD= $______30°;
(2)如图②,已知$∠AOB= 50^{\circ }$,将$OA绕点O沿顺时针方向旋转一个角度α(0^{\circ }＜α＜60^{\circ })得到OC$,同时将$OB绕点O沿顺时针方向旋转一个角度\frac {1}{3}α得到OD$.若$∠COB是∠AOD$的内余角,求$α$的值;
解：已知$∠AOB = 50^{\circ}$，$OA$绕点$O$沿顺时针方向旋转一个角度$α(0^{\circ}＜α＜60^{\circ})$得到$OC$，$OB$绕点$O$沿顺时针方向旋转一个角度$\frac{1}{3}α$得到$OD$，所以$∠AOC = α$，$∠BOD=\frac{1}{3}α$，所以$∠BOC = ∠AOB - α = 50^{\circ}-α$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 50^{\circ}+\frac{1}{3}α$。因为$∠COB$是$∠AOD$的内余角，所以$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$50^{\circ}-α + 50^{\circ}+\frac{1}{3}α = 90^{\circ}$，解得$α = 15^{\circ}$，所以$α$的值为$15^{\circ}$。
(3)把一块含有$30^{\circ }角的三角板COD$按图③方式放置,使$OC边与OA$边重合,$OD边与OB$边重合,如图④,将三角板$COD绕顶点O$以6度/秒的速度按顺时针方向旋转,旋转时间为$t$秒,在旋转一周的时间内,当射线$OA$,$OB$,$OC$,$OD$构成内余角时,请求出$t$的值.
解：根据题意可得$∠AOB = 30^{\circ}$，三角板$COD$绕顶点$O$以$6$度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为$t$秒。
①当$OC$在$∠AOB$内部时，$∠AOC = (6t)^{\circ}$，$∠BOD = (6t)^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 30^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30^{\circ}+(6t)^{\circ}$，当$∠COB$是$∠AOD$的内余角时，$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，即$30^{\circ}-(6t)^{\circ}+30^{\circ}+(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，无解；
②当$OC$在射线$OB$下方时，$∠BOC = (6t)^{\circ}-30^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}+30^{\circ}$，当$∠BOC$是$∠AOD$的内余角时，$∠BOC + ∠AOD = 90^{\circ}$，即$(6t)^{\circ}-30^{\circ}+(6t)^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 7.5$；
③当$OD$在$OA$上方时，$∠AOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOC = 330^{\circ}-(6t)^{\circ}+60^{\circ}=390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，当$∠AOD$是$∠BOC$的内余角时，$∠AOD + ∠BOC = 90^{\circ}$，即$330^{\circ}-(6t)^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 52.5$；
④当$OD$在$∠AOB$内部时，$∠AOC = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}-330^{\circ}$，$∠BOC = 390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，当$∠AOD$是$∠BOC$的内余角时，$∠AOD + ∠COB = 90^{\circ}$，即$(6t)^{\circ}-330^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，无解。
综上所述，当射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$构成内余角时，$t$的值为$7.5$或$52.5$。

答案：
(1)$30^{\circ}$ 解析：因为$∠COD$是$∠AOB$的内余角，所以$∠COD + ∠AOB = 90^{\circ}$。因为$∠AOB = 70^{\circ}$，所以$∠COD = 20^{\circ}$。因为$∠AOC = 20^{\circ}$，所以$∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 70^{\circ}-20^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ}$。
(2)已知$∠AOB = 50^{\circ}$，$OA$绕点$O$沿顺时针方向旋转一个角度$α(0^{\circ}＜α＜60^{\circ})$得到$OC$，$OB$绕点$O$沿顺时针方向旋转一个角度$\frac{1}{3}α$得到$OD$，所以$∠AOC = α$，$∠BOD=\frac{1}{3}α$，所以$∠BOC = ∠AOB - α = 50^{\circ}-α$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 50^{\circ}+\frac{1}{3}α$。因为$∠COB$是$∠AOD$的内余角，所以$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$50^{\circ}-α + 50^{\circ}+\frac{1}{3}α = 90^{\circ}$，解得$α = 15^{\circ}$，所以$α$的值为$15^{\circ}$。
(3)根据题意可得$∠AOB = 30^{\circ}$，三角板$COD$绕顶点$O$以$6$度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为$t$秒。
①当$OC$在$∠AOB$内部时，如图①所示，所以$∠AOC = (6t)^{\circ}$，$∠BOD = (6t)^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 30^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30^{\circ}+(6t)^{\circ}$，当$∠COB$是$∠AOD$的内余角时，$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$30^{\circ}-(6t)^{\circ}+30^{\circ}+(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，无解，所以当$OC$在$∠AOB$内部时，射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$不能构成内余角；
②当$OC$在射线$OB$下方时，如图②所示，所以$∠BOC = (6t)^{\circ}-30^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}+30^{\circ}$，当$∠BOC$是$∠AOD$的内余角时，$∠BOC + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$(6t)^{\circ}-30^{\circ}+(6t)^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 7.5$；
③当$OD$在$OA$上方时，如图③所示，所以$∠AOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOC = ∠AOD + 60^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}+60^{\circ}=390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，当$∠AOD$是$∠BOC$的内余角时，$∠AOD + ∠BOC = 90^{\circ}$，所以$330^{\circ}-(6t)^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 52.5$；
④当$OD$在$∠AOB$内部时，如图④所示，所以$∠AOC = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = 30^{\circ}-∠COA = 30^{\circ}-[360^{\circ}-(6t)^{\circ}]=(6t)^{\circ}-330^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，当$∠AOD$是$∠BOC$的内余角时，$∠AOD + ∠COB = 90^{\circ}$，所以$(6t)^{\circ}-330^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，无解，所以当$OD$在$∠AOB$内部时，射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$不能构成内余角。
综上所述，当射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$构成内余角时，$t$的值为$7.5$或$52.5$。