《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

3. (2025·重庆期末) 如图, $ P $ 是定长线段 $ A B $ 上一点, $ C, D $ 两点分别从 $ P, B $ 出发以 $ 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $、 $ 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $ 的速度沿直线 $ A B $ 向左运动 ($ C $ 在线段 $ A P $ 上, $ D $ 在线段 $ B P $ 上).
(1) 若 $ C, D $ 运动到任一时刻时, 总有 $ P D= 2 A C $, 请说明 $ A P= \frac{1}{3} A B $.
(2) 在 (1) 的条件下, $ Q $ 是直线 $ A B $ 上一点, 且 $ A Q-B Q= P Q $, 求 $ \frac{P Q}{A B} $ 的值.
(3) 在 (1) 的条件下, 若 $ C, D $ 运动 $ 5 \mathrm{~s} $ 后, 恰好有 $ C D= \frac{1}{2} A B $, 此时点 $ C $ 停止运动, 点 $ D $ 继续运动 (点 $ D $ 在线段 $ P B $ 上), $ M, N $ 分别是 $ C D, P D $ 的中点, 下列结论: (1) $ P M-P N $ 的值不变; (2) $ \frac{M N}{A B} $ 的值不变. 只有一个结论是正确的, 请你找出正确的结论并求值.

答案： 3.
(1) 设 $ C $，$ D $ 运动的时间是 $ t \, \text{s} $。因为 $ PD = 2AC $，$ PB - BD = 2(AP - PC) $，所以 $ PB - 2t = 2(AP - t) $，所以 $ PB = 2AP $，所以 $ \frac{PB}{AP} = 2 $，所以 $ AP = \frac{1}{3}AB $。
(2) 当点 $ Q $ 在线段 $ AB $ 上时，因为 $ AQ - BQ = PQ $，所以 $ AQ = PQ + BQ $。因为 $ AQ = AP + PQ $，所以 $ AP = BQ $，所以 $ PQ = \frac{1}{3}AB $，所以 $ \frac{PQ}{AB} = \frac{1}{3} $；当点 $ Q $ 在线段 $ AB $ 的延长线上时，因为 $ AQ - AP = PQ $，所以 $ AQ - BQ = PQ = AB $，所以 $ \frac{PQ}{AB} = 1 $。综上，$ \frac{PQ}{AB} $ 的值为 $ \frac{1}{3} $ 或 $ 1 $。
(3) ②的结论正确，理由如下：
若 $ C $，$ D $ 运动 $ 5 \, \text{s} $ 后，则 $ PC = 1 × 5 = 5 \, \text{cm} $，$ BD = 2 × 5 = 10 \, \text{cm} $，由
(1) 知 $ PD = 2AC $，设 $ AC = x \, \text{cm} $，则 $ PD = 2x \, \text{cm} $。
因为 $ CD = \frac{1}{2}AB $，所以 $ 5 + 2x = \frac{1}{2}(5 + 10 + 3x) $，解得 $ x = 5 $，所以 $ AB = 30 $，当 $ M $，$ N $ 分别是 $ CD $，$ PD $ 的中点时，$ \frac{MN}{AB} $ 的值不变。
设当点 $ C $ 停止后点 $ D $ 继续运动 $ t \, \text{s} $，则 $ CP = 5 \, \text{cm} $，$ BD = (10 + 2t) \, \text{cm} $，$ PD = (10 - 2t) \, \text{cm} $，$ PN = \frac{1}{2}(10 - 2t) = 5 - t $，所以 $ CN = CP + PN = 5 + (5 - t) = (10 - t) \, \text{cm} $，$ CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(CP + PD) = \left( \frac{15}{2} - t \right) \, \text{cm} $，所以 $ MN = CN - CM = (10 - t) - \left( \frac{15}{2} - t \right) = \frac{5}{2} \, \text{cm} $，所以 $ \frac{MN}{AB} = \frac{1}{12} $。

4. 如图, 数轴上点 $ A $ 在原点 $ O $ 左侧, 点 $ B $ 在原点 $ O $ 右侧, 且 $ O A= 2 O B $, 动点 $ P, Q $ 分别从 $ A, B $ 两点同时出发, 都向右运动, 点 $ P $ 的速度为每秒 2 个单位长度, 点 $ Q $ 的速度为每秒 1 个单位长度, 当点 $ P $ 与点 $ Q $ 重合时, $ P, Q $ 两点停止运动. 设运动时间为 $ t \mathrm{~s} $.
(1) 若点 $ A $ 表示的数为 $ -12 $, 则点 $ B $ 表示的数为6, 线段 $ A B $ 的中点表示的数为-3;
(2) 在 (1) 的条件下, 若 $ 2 O P-O Q= \frac{1}{2} A B $, 求 $ t $ 的值;
当点 $ P $，$ Q $ 相遇时，$ t = (12 + 6) ÷ (2 - 1) = 18 \, \text{s} $，所以 $ t \leq 18 $。$ \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9 $。当点 $ P $ 在 $ AO $ 上时，$ OP = 12 - 2t $，$ OQ = 6 + t $，因为 $ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(12 - 2t) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = \frac{9}{5} $，符合题意；当点 $ P $ 在原点 $ O $ 右侧时，$ OP = 2t - 12 $，$ OQ = 6 + t $，因为 $ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(2t - 12) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = 13 $，符合题意。综上所述，若 $ 2OP - OQ = \frac{1}{2}AB $，则 $ t $ 的值为 $ \frac{9}{5} $ 或 $ 13 $。
(3) 当点 $ P $ 在线段 $ A O $ 上运动时, 若 $ |A P-B P|= O P $, 请探究线段 $ O P $ 与线段 $ A B $ 之间的数量关系, 并说明理由.
$ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。理由如下: 设线段 $ OB $ 的长为 $ b $，则 $ OA = 2b $，$ AB = 3b $。因为点 $ P $ 在线段 $ AO $ 上运动，所以 $ AP = 2t $，$ OP = 2b - 2t $，$ BP = AB - AP = 3b - 2t $。若 $ AP ＜ BP $，则 $ |AP - BP| = BP - AP $，所以 $ BP - AP = OP $，所以 $ (3b - 2t) - 2t = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{1}{2}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - b = b $。又因为 $ AB = 3b $，所以 $ AB = 3OP $。若 $ AP ＞ BP $，则 $ |AP - BP| = AP - BP $，所以 $ AP - BP = OP $，所以 $ 2t - (3b - 2t) = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{5}{6}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - \frac{5}{3}b = \frac{1}{3}b $。因为 $ AB = 3b $，所以 $ AB = 9OP $。综上所述，线段 $ OP $ 与线段 $ AB $ 之间的数量关系为 $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。

答案： 4.
(1) 6 -3 解析: 因为点 $ A $ 表示的数为 $ -12 $，$ OA = 2OB $，所以 $ OA = 12 $，$ OB = 6 $，所以点 $ B $ 表示的数为 $ 6 $，且 $ AB = 18 $，所以线段 $ AB $ 中点表示的数为 $ -3 $。
(2) 当点 $ P $，$ Q $ 相遇时，$ t = (12 + 6) ÷ (2 - 1) = 18 \, \text{s} $，所以 $ t \leq 18 $。$ \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9 $。当点 $ P $ 在 $ AO $ 上时，$ OP = 12 - 2t $，$ OQ = 6 + t $，因为 $ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(12 - 2t) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = \frac{9}{5} $，符合题意；当点 $ P $ 在原点 $ O $ 右侧时，$ OP = 2t - 12 $，$ OQ = 6 + t $，因为 $ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(2t - 12) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = 13 $，符合题意。综上所述，若 $ 2OP - OQ = \frac{1}{2}AB $，则 $ t $ 的值为 $ \frac{9}{5} $ 或 $ 13 $。
(3) $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。理由如下: 设线段 $ OB $ 的长为 $ b $，则 $ OA = 2b $，$ AB = 3b $。因为点 $ P $ 在线段 $ AO $ 上运动，所以 $ AP = 2t $，$ OP = 2b - 2t $，$ BP = AB - AP = 3b - 2t $。若 $ AP ＜ BP $，则 $ |AP - BP| = BP - AP $，所以 $ BP - AP = OP $，所以 $ (3b - 2t) - 2t = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{1}{2}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - b = b $。又因为 $ AB = 3b $，所以 $ AB = 3OP $。若 $ AP ＞ BP $，则 $ |AP - BP| = AP - BP $，所以 $ AP - BP = OP $，所以 $ 2t - (3b - 2t) = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{5}{6}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - \frac{5}{3}b = \frac{1}{3}b $。因为 $ AB = 3b $，所以 $ AB = 9OP $。综上所述，线段 $ OP $ 与线段 $ AB $ 之间的数量关系为 $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。