《2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版》

10. (2024·徐州月考)若两个数的积为-1,我们称它们互为负倒数,则0.25的负倒数是-4.

答案： -4 解析: 因为 $-4×0.25=-1$, 所以 0.25 的负倒数是 -4.

11. 若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,则$\frac {a+b}{4m}+2m-3cd$的值为-7 或 1.

答案： -7 或 1 解析: 因为 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值为 2,所以 $a+b=0,cd=1,m=±2$,所以原式$=0+2m-3=-3+2m$.当$m=2$时,原式=1;当$m=-2$时,原式=-7.

12. 如图为乘法表的一部分,每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积,则16个阴影空格中填入的数之和是87500.

答案： 87 500 解析: 因为每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积,则16个阴影空格中填入的数之和是$61×(86+87+88+89)+62×(86+87+88+89)+63×(86+87+88+89)+64×(86+87+88+89)=(61+62+63+64)×(86+87+88+89)=250×350=87 500$.

13. 新题型 新定义 (2025·临汾期中)对于有理数a,b,定义运算:$a\otimes b= a×b-a-b+1$.例如$3\otimes 4= 3×4-3-4+1= 6$.
(1)计算$5\otimes (-2)和(-2)\otimes 5$的值,并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律$a\otimes b= b\otimes a$,再任取一组a,b的值检验自己的判断.
(2)对于有理数$a= 2,b= -1,c= 3$,这种运算是否满足结合律$(a\otimes b)\otimes c= a\otimes (b\otimes c)$,请通过计算判断.

答案：
(1) 由题意知$5\otimes (-2)=5×(-2)-5-(-2)+1=-12,(-2)\otimes 5=(-2)×5-(-2)-5+1=-12$,根据计算结果判断这种运算满足交换律$a\otimes b=b\otimes a$,任取一组$a,b$的值检验:取$a=2,b=1,2\otimes 1=2×1-2-1+1=0,1\otimes 2=1×2-1-2+1=0$,可知$2\otimes 1=1\otimes 2$,故这种运算满足交换律$a\otimes b=b\otimes a$.
(2) 对于有理数$a=2,b=-1,c=3$,这种运算不满足结合律$(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$.通过计算判断:由题意知$2\otimes (-1)=2×(-1)-2-(-1)+1=-2,-1\otimes 3=(-1)×3-(-1)-3+1=-4$,$(a\otimes b)\otimes c=[2\otimes (-1)]\otimes 3=(-2)\otimes 3=(-2)×3-(-2)-3+1=-6$,$a\otimes (b\otimes c)=2\otimes [(-1)\otimes 3]=2\otimes (-4)=2×(-4)-2-(-4)+1=-5$,可知$(a\otimes b)\otimes c≠a\otimes (b\otimes c)$,故这种运算不满足结合律$(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$.

(1)$(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})×(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6}+\frac {1}{7})-(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6}+\frac {1}{7})×(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})= $$\frac {1}{7}$;
(2)$(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n})(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n+1})-(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n+1})(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n})$设$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n})$为A,$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n+1})$为B,则原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\frac {1}{n+1}$.

答案：
(1)$\frac {1}{7}$
(2)设$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n})$为A,$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+... +\frac {1}{n+1})$为B,则原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\frac {1}{n+1}$.