《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图,两个正方形的边长分别为a,b,已知$a+b=7,ab=9$,则阴影部分的面积为 (B)

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

答案： B

10. (教材P121复习题T8变式)(1)已知$m+n=12,mn=32$,则$m^{2}+n^{2}=$80;
(2)已知$xy=1,x-y=-4$,则$x^{2}+3xy+y^{2}=$21;
(3)已知a,b满足$a-b=1,ab=2$,则$a+b=$$\pm 3$;
(4)已知$(a+b)^{2}=7,(a-b)^{2}=3$,则$ab=$1,$a^{4}+b^{4}=$23.

答案：
(1)80
(2)21
(3)$\pm 3$
(4)1 23

11. 【整体思想】若x满足$(8-x)(x-2)=14$,求$(2-x)^{2}+(x-8)^{2}$的值.
解:设$8-x=a,x-2=b$,则$(8-x)(x-2)=ab=14,a+b=(8-x)+(x-2)=6$,
$\therefore (2-x)^{2}+(x-8)^{2}=(x-2)^{2}+(8-x)^{2}=b^{2}+a^{2}=(a+b)^{2}-2ab=6^{2}-2×14=8$.
请仿照上面的方法求解下列问题:
(1)已知$(15-x)^{2}+(16-x)^{2}=5$,求$(15-x)(16-x)$的值;2
(2)已知$(m-2024)^{2}+(m-2026)^{2}=104$,求$(m-2025)^{2}$的值.51

答案：
(1)2
(2)51

12. “数形结合”是一种非常重要的数学思想.如图1,我们通过构造几何图形,用“等积法”直观地推导出了完全平方公式:$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.
同理,由图2可得等式:$(a+b)(2a+b)=2a^{2}+3ab+b^{2}$.
根据以上材料提供的方法,解决下列问题:
(1)由图3可得等式:$(a+2b)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}$.
(2)由图4可得等式:$(2a+b)(a+2b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}$.
(3)若$a＞0,b＞0,c＞0$,且$a+b+c=9,ab+bc+ac=26$,求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值.
①为了解决这个问题,请你利用“数形结合”思想,仿照前面的方法,在下方空白处画出可以得到一个含有a,b,c的等式的几何图形;
②根据你所画的图形可以得到等式:$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$;
③利用②中的结论,求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值.

答案：
(1)$(a+2b)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}$
(2)$(2a+b)(a+2b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}$
(3)①略 ②$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$ ③29