《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

1.(教材P70习题T4变式)如图,在$\triangle ABC$中,线段AC的垂直平分线分别交AC,AB于点E,D,连接CD.若$AB=12,BC=9$,则$\triangle BCD$的周长为(C)

A.19
B.20
C.21
D.22

答案： C

2.(2024·重庆八中月考)游戏时,3名同学分别站在$\triangle ABC$三个顶点的位置上,在三角形内部放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜.为使游戏公平,则凳子放置的最适当的位置是$\triangle ABC$的(A)
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点

答案： A

3.如图,DE,DF分别是线段AB,BC的垂直平分线,连接DA,DC,则下列结论一定正确的是(C)

A.$∠A=∠C$
B.$∠B=∠ADC$
C.$DA=DC$
D.$DE=DF$

答案： C

4.(2025·松树桥中学期中改编)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC$的平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F,连接CF.若$∠A=70^{\circ },∠ABD=26^{\circ }$,则$∠ACF$的度数是(C)

A.$26^{\circ }$
B.$28^{\circ }$
C.$32^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

答案： C

5.“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是如果三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形,它是真(填“真”或“假”)命题.

答案： 如果三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真

6.如图,在$\triangle ABC$中,OD,OE分别是AB,BC边上的垂直平分线,OD,OE交于点O,连接OA,OC,已知$∠B=40^{\circ }$,则$∠OAC=$50°.

答案： 50°

7.如图,在$\triangle ABC$中,DE垂直平分AB,交AB于点D,交BC于点E,连接AE,FG垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点G,连接AG.若$∠BAC=120^{\circ }$,则$∠EAG$的度数为60°.
[变式]在第7题中,若$\triangle AEG$的周长为32,则BC的长为32.

答案： 7.60° 【变式】32

8.如图,已知E是$∠AOB$的平分线上的一点,过点E作$EC⊥OA,ED⊥OB$,垂足分别为C,D,连接CD.求证:OE是CD的垂直平分线.
证明：因为E是$∠AOB$平分线上一点，$EC⊥OA$，$ED⊥OB$，所以$ED = EC$。
在$Rt\triangle ODE$和$Rt\triangle OCE$中，$\left\{\begin{array}{l}OE = OE\\ED = EC\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ODE\cong Rt\triangle OCE(HL)$，则$OD = OC$。
因为$OD = OC$，所以点O在线段CD的垂直平分线上；因为$ED = EC$，所以点E在线段CD的垂直平分线上。
所以OE是CD的垂直平分线。

答案： 【解析】：
- 因为$E$是$\angle AOB$平分线上一点，$EC\perp OA$，$ED\perp OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$ED = EC$。
- 在$Rt\triangle ODE$和$Rt\triangle OCE$中，$\left\{\begin{array}{l}OE = OE\\ED = EC\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle ODE\cong Rt\triangle OCE$。
- 由全等三角形的性质可知$OD = OC$，所以点$O$在线段$CD$的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
- 又因为$ED = EC$，所以点$E$在线段$CD$的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
- 两点确定一条直线，所以$OE$是$CD$的垂直平分线。
【答案】：
因为$E$是$\angle AOB$平分线上一点，$EC\perp OA$，$ED\perp OB$，所以$ED = EC$。
在$Rt\triangle ODE$和$Rt\triangle OCE$中，$\left\{\begin{array}{l}OE = OE\\ED = EC\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ODE\cong Rt\triangle OCE(HL)$，则$OD = OC$。
因为$OD = OC$，所以点$O$在线段$CD$的垂直平分线上；因为$ED = EC$，所以点$E$在线段$CD$的垂直平分线上。
所以$OE$是$CD$的垂直平分线。