《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

8.由几个小三角形拼成的大三角形如图所示,则该图中三角形的个数为(C)

A.10
B.12
C.13
D.15

答案： 8.C

9.有若干个三角形,这些三角形的所有内角中,有2个直角、3个钝角、22个锐角,则在这些三角形中锐角三角形有(B)
A.3个
B.4个
C.3个或4个
D.5个

答案： 9.B

10.图1中有1个三角形,在图1中的三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与三角形的3个顶点得到图2,则图2中共有4个三角形.若在图2中的一个小三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与该小三角形的3个顶点得到图3.在虚线框中画出图3,则图3中共有7 或 9个三角形.(写出所有可能的值)

答案： 10.图略 7 或 9

11.(教材P4习题T5变式)直线a上有点A,B,直线b上有点C,D,E,F.以这6个点中的任意3个点作为三角形的顶点,一共可以组成多少个三角形?分别写出组成的三角形.

一共可以组成16个三角形，分别是$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ABE$、$\triangle ABF$、$\triangle ACD$、$\triangle ACE$、$\triangle ACF$、$\triangle ADE$、$\triangle ADF$、$\triangle AEF$、$\triangle BCD$、$\triangle BCE$、$\triangle BCF$、$\triangle BDE$、$\triangle BDF$、$\triangle BEF$.

答案： 【解析】：
本题可根据三角形的定义，通过分别列举以直线$a$上的点为顶点与直线$b$上的点组合成三角形的情况，再计算总数。
- **步骤一：计算以$A$为顶点的三角形个数**
已知直线$b$上有$C$、$D$、$E$、$F$四个点，从这四个点中选$2$个点与$A$组成三角形。
根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$（$C$、$D$、$E$、$F$共$4$个点），$k = 2$（选$2$个点），则组合数$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3\times2!}{2!\times2!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6$（种）。
分别为$\triangle ACD$、$\triangle ACE$、$\triangle ACF$、$\triangle ADE$、$\triangle ADF$、$\triangle AEF$。
- **步骤二：计算以$B$为顶点的三角形个数**
同理，从直线$b$上的$C$、$D$、$E$、$F$四个点中选$2$个点与$B$组成三角形，组合数也是$C_{4}^2 = 6$（种）。
分别为$\triangle BCD$、$\triangle BCE$、$\triangle BCF$、$\triangle BDE$、$\triangle BDF$、$\triangle BEF$。
- **步骤三：计算以直线$b$上$1$个点，直线$a$上$2$个点组成的三角形个数**
从直线$b$上选$1$个点（有$4$种选法，即选$C$、$D$、$E$、$F$中的一个），直线$a$上$A$、$B$两个点选$2$个点（只有$1$种选法，即选$A$和$B$）。
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
则这种情况下组成三角形的个数为$4\times1 = 4$（种），分别为$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ABE$、$\triangle ABF$。
- **步骤四：计算三角形的总数**
将上述三种情况的三角形个数相加，可得三角形总数为$6 + 6 + 4 = 16$（个）。
【答案】：
一共可以组成$16$个三角形，分别是$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ABE$、$\triangle ABF$、$\triangle ACD$、$\triangle ACE$、$\triangle ACF$、$\triangle ADE$、$\triangle ADF$、$\triangle AEF$、$\triangle BCD$、$\triangle BCE$、$\triangle BCF$、$\triangle BDE$、$\triangle BDF$、$\triangle BEF$。

12.【规律探究】如图,在$\triangle ABC$中,$A_{1},A_{2},A_{3},... ,A_{n}$为AC边上不同的n个点,首先连接$BA_{1}$,图中出现了3个不同的三角形,再连接$BA_{2}$,图中出现了6个不同的三角形……依次连接下去.
(1)完成下表:
|连接的点的个数|1|2|3|4|5|
|----|----|----|----|----|----|
|出现三角形的个数|3|6|10|15|21|
(2)若连接n个点,即连接$BA_{1},BA_{2},BA_{3},... ,BA_{n}$,用含有n的代数式表示出现三角形的个数为____$\frac{1}{2}(n + 1)(n + 2)$.
(3)若出现了45个不同的三角形,则共连接了多少个点?8个点

答案： 12.
(1)3 6 10 15 21
(2)$\frac{1}{2}(n + 1)(n + 2)$
(3)8 个点