《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图，$AB⊥BC$于点B，$AD⊥DC$于点D.若$CB=CD$，且$∠1=30^{\circ }$，则$∠ACD$的度数是（B）

A. $90^{\circ }$
B. $60^{\circ }$
C. $30^{\circ }$
D. $10^{\circ }$

答案： B

2. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（C）

A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不确定

答案： C

3. 如图，点P在射线BD上，$PA⊥AB$，$PC⊥BC$，垂足分别为A，C，且$PA=PC$，下列结论不一定成立的是（A）

A. $AD=CP$
B. 点D在$∠ABC$的平分线上
C. $△ABD\cong △CBD$
D. $∠ADB=∠CDB$

答案： A

4. (教材P60复习题T14变式)如图，$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$.若$∠BAC=80^{\circ }$，则$∠BAD=$$40^{\circ}$.

答案： 1. 首先，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$h$为高）：
设$\triangle ABD$与$\triangle ACD$中，以$AB$、$AC$为底时，高为$h$（因为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的高是同一条高，是点$D$到$AB$和$AC$的距离，根据$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=AB:AC$，由$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{1}$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot h_{2}$，且$h_{1}=h_{2}$（角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等），可知$AD$是$\angle BAC$的角平分线。
2. 然后，根据角平分线的定义：
已知$\angle BAC = 80^{\circ}$，角平分线将角分成相等的两部分。
若$AD$平分$\angle BAC$，则$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
所以$\angle BAD = 40^{\circ}$。
故答案为：$40^{\circ}$。

5. 某油路管道的一部分如图所示，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6m，8m，10m，输油中心O到这三条支路的距离相等，则输油中心O到这三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为____6 m.

答案： 1. 首先，根据直角三角形的面积公式：
已知直角三角形三边$a = 6m$，$b = 8m$，$c = 10m$，设点$O$到三边的距离为$r$。
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为直角边），同时$S=\frac{1}{2}(a + b + c)r$（利用三角形面积等于三个以$r$为高，三边为底的三角形面积之和）。
2. 然后，计算直角三角形面积：
由$S=\frac{1}{2}ab$，把$a = 6$，$b = 8$代入，可得$S=\frac{1}{2}×6×8=24m^{2}$。
又因为$S=\frac{1}{2}(a + b + c)r$，其中$a + b + c=6 + 8+10 = 24m$。
即$24=\frac{1}{2}×24× r$。
3. 接着，求解$r$：
方程$24=\frac{1}{2}×24× r$，两边同时除以$12$，解得$r = 2m$。
4. 最后，计算输油中心$O$到三条支路的管道总长：
因为输油中心$O$到三条支路的距离都为$r$，所以管道总长为$3r$。
把$r = 2$代入，得$3r=3×2 = 6m$。
故输油中心$O$到这三条支路的管道总长为$6m$。

6. (教材P51练习T2变式)如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在$∠BAC$的平分线上；②点P在$∠CBE$的平分线上；③点P在$∠BCD$的平分线上；④P是$∠BAC$，$∠CBE$，$∠BCD$的平分线的交点.其中正确的是____①②③④.(填序号)

答案： ①②③④

7. 如图，$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F，$BD=CD$，$BE=CF$.求证：AD平分$∠BAC$.
[变式] 在第7题中，若$AC=16$，$DE=4$，$BE=2$，则四边形AFDB的面积为____32.

答案： 【解析】：
### 第7题：证明$AD$平分$\angle BAC$
- **步骤一：证明$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$**
已知$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle E = \angle DFC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\BE = CF\end{array}\right.$（已知）。
根据“$HL$”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理，可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
- **步骤二：得出$DE = DF$**
由$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$，根据全等三角形的对应边相等，所以$DE = DF$。
- **步骤三：证明$AD$平分$\angle BAC$**
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，且$DE = DF$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），所以$AD$平分$\angle BAC$。
### 变式：求四边形$AFDB$的面积
- **步骤一：求出$AE$的长度**
由$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$可知$DF = DE = 4$，$CF = BE = 2$。
因为$AC=16$，所以$AF=AC - CF=16 - 2 = 14$。
又因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$AE = AF = 14$（角平分线上的点到角两边的距离相等，可通过证明$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF$（$HL$）得到）。
- **步骤二：计算${S}_{\triangle ADE}$和${S}_{\triangle BDE}$的面积**
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
${S}_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}\times AE\times DE=\frac{1}{2}\times14\times4 = 28$。
${S}_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}\times BE\times DE=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$。
- **步骤三：计算四边形$AFDB$的面积**
四边形$AFDB$的面积$S = {S}_{\triangle ADE}+{S}_{\triangle BDE}=28 + 4=32$。
【答案】：
7. 证明过程如上述解析；
变式. $32$

8. (教材P53习题T8变式)如图，在四边形ABDC中，$∠D=∠B=90^{\circ }$，O为BD的中点，且AO平分$∠BAC$.求证：
(1)CO平分$∠ACD$；过点O作OE⊥AC于点E。因为∠B=90°，AO平分∠BAC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以OB=OE。又因为O为BD的中点，所以OB=OD，那么OE=OD。因为∠D=90°，OE⊥AC，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以CO平分∠ACD。
(2)$OA⊥OC$；因为∠B=∠AEO=90°，AO=AO，OB=OE，所以Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，则∠AOB=∠AOE。同理Rt△CDO≌Rt△CEO(HL)，则∠COD=∠COE。因为∠AOB+∠AOE+∠COD+∠COE=180°，所以2(∠AOE+∠COE)=180°，即∠AOC=∠AOE+∠COE=90°，所以OA⊥OC。
(3)$AB+CD=AC$。由Rt△ABO≌Rt△AEO可得AB=AE，由Rt△CDO≌Rt△CEO可得CD=CE。因为AC=AE+CE，所以AB+CD=AC。

答案： 【解析】：
(1) 过点$O$作$OE\perp AC$于点$E$。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$AO$平分$\angle BAC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$OB = OE$。
又因为$O$为$BD$的中点，所以$OB = OD$，那么$OE = OD$。
因为$\angle D = 90^{\circ}$，$OE\perp AC$，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以$CO$平分$\angle ACD$。
(2) 因为$\angle B=\angle AEO = 90^{\circ}$，$AO = AO$，$OB = OE$，所以$Rt\triangle ABO\cong Rt\triangle AEO(HL)$，则$\angle AOB=\angle AOE$。
同理$Rt\triangle CDO\cong Rt\triangle CEO(HL)$，则$\angle COD=\angle COE$。
因为$\angle AOB+\angle AOE+\angle COD+\angle COE = 180^{\circ}$，所以$2(\angle AOE+\angle COE)=180^{\circ}$，即$\angle AOC=\angle AOE+\angle COE = 90^{\circ}$，所以$OA\perp OC$。
(3) 由$Rt\triangle ABO\cong Rt\triangle AEO$可得$AB = AE$，由$Rt\triangle CDO\cong Rt\triangle CEO$可得$CD = CE$。
因为$AC=AE + CE$，所以$AB + CD=AC$。
【答案】：
(1) $CO$平分$\angle ACD$得证。
(2) $OA\perp OC$得证。
(3) $AB + CD=AC$得证。