《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

1.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,BD平分$∠ABC,DE⊥AB$于点E,$AC=9,AD=5$,则DE的长为(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

2.如图,P是$∠AOB$的平分线上的一点,$PC⊥OA,PD⊥OB$,垂足分别为C,D,下列结论不一定成立的是(D)

A.$PC=PD$
B.$OC=OD$
C.$∠1=∠2$
D.$OP=2OC$

答案： D

3.如图,OC平分$∠AOB$,P是射线OC上一点,$PM⊥OB$于点M,N是射线OA上的一个动点,连接PN.若$PM=6$,则PN的长度不可能是(D)

A.$\sqrt {41}$
B.7.2
C.6
D.$\sqrt {35}$

答案： D

4.(2025·巴川量子学校开学)如图,在$△ABC$中,$AC=5,AB=7$,AD平分$∠BAC,DE⊥AC,DE=2$,则$△ABD$的面积为(D)

A.14
B.12
C.10
D.7

答案： D

[变式]如图,AD是$△ABC$的角平分线,$DE⊥AC,DF⊥AB$,E,F分别是垂足.若$BD=2CD,AB=6$,则AC的长为____3.

答案： 3

5.如图,$AB// CD$,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于$\frac {1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.若$∠ACD=110^{\circ }$,则$∠CMA$的度数为____35°.

答案： 35°

6.如图,在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=BC$,AD平分$∠CAB$交BC于点D,$DE⊥AB$于点E,且$AB=6cm$,则$△DEB$的周长为6cm.

答案： 6cm

7.如图,BD是$∠ABC$的平分线,$AB=BC$,点P在BD上,$PM⊥AD,PN⊥CD$,垂足分别为M,N.求证:$PM=PN$.

证明：在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CBD$(SAS)，则$\angle ADB=\angle CDB$，即$BD$平分$\angle ADC$。
又因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，点$P$在$BD$上，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PM = PN$。

答案： 【解析】：
本题可先证明$\triangle ABD\cong\triangle CBD$，再根据角平分线的性质证明$PM = PN$。
### 步骤一：证明$\triangle ABD\cong\triangle CBD$
已知$BD$是$\angle ABC$的平分线，根据角平分线的定义，可得$\angle ABD=\angle CBD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中：
$AB = BC$（已知）
$\angle ABD=\angle CBD$（已证）
$BD = BD$（公共边）
根据全等三角形判定定理中的“边角边”（$SAS$），可以得出$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
### 步骤二：得出$\angle ADB=\angle CDB$
因为$\triangle ABD\cong\triangle CBD$，根据全等三角形的对应角相等，所以$\angle ADB=\angle CDB$，即$DB$是$\angle ADC$的平分线。
### 步骤三：证明$PM = PN$
已知$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，点$P$在$BD$上。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
因为$DB$是$\angle ADC$的平分线，$PM$是点$P$到$AD$的距离，$PN$是点$P$到$CD$的距离，所以$PM = PN$。
【答案】：
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CBD(SAS)$，则$\angle ADB=\angle CDB$，即$BD$平分$\angle ADC$。
又因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，点$P$在$BD$上，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PM = PN$。