《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9.(2025·礼嘉中学期中)已知$n - m = 3$，则整式$n^{2} - m^{2} - 6m =$9.

答案： 9.9

10.(2025·重庆育才中学自主作业)分解因式：
(1)$2m^{2} - 4mn + 2n^{2}$；
(2)$x^{2} - 5x + 6$；
(3)$x^{2}(y - 2) + (2 - y)$；
(4)$16(a - 1)^{2} - 4(a + 1)^{2}$；
(5)$x^{2} - 4y^{2} - z^{2} + 4yz$.

答案： 10.
(1)$2(m-n)^{2}$
(2)$(x-2)(x-3)$
(3)$(y-2)(x+1)(x-1)$
(4)$4(3a-1)(a-3)$
(5)$(x+2y-z)(x-2y+z)$

11.整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，下面是某同学对多项式$(x^{2} - 3x + 4)(x^{2} - 3x + 6) + 1$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2} - 3x = m$.
原式$=(m + 4)(m + 6) + 1$ 第一步
$= m^{2} + 10m + 25$ 第二步
$=(m + 5)^{2}$ 第三步
$=(x^{2} - 3x + 5)^{2}$. 第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是(C)
A.提公因式法
B.平方差公式
C.完全平方公式
(2)请你类比以上方法，尝试对多项式$(a^{2} - 4a + 2)(a^{2} - 4a + 6) + 4$进行因式分解.$(a-2)^{4}$
(3)证明：若$n$为正整数，则式子$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$的值一定是某一个整数的平方.略

答案： 11.
(1)C
(2)$(a-2)^{4}$
(3)略

12.利用公式法，可以将一些形如$ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的多项式变形为$a(x + m)^{2} + n$的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例如，
$x^{2} + 4x - 5 = x^{2} + 4x + (\frac{4}{2})^{2} - (\frac{4}{2})^{2} - 5$
$= x^{2} + 4x + 4 - 3^{2}$
$=(x + 2)^{2} - 3^{2}$
$=(x + 2 - 3)(x + 2 + 3)$
$=(x - 1)(x + 5)$.
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题.
(1)分解因式：$x^{2} + 2x - 3$=$(x+3)(x-1)$；
(2)求多项式$x^{2} + 6x - 9$的最小值为$-18$；
(3)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6a + 8b + 10c$，求$\triangle ABC$的周长为12.

答案： 12.
(1)$(x+3)(x-1)$
(2)$-18$
(3)$12$