《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图,已知$AB=AC$,$AF=AE$,$∠EAF=∠BAC$,点C,E,D,F在同一直线上.有下列结论:
①$△AFB\cong △AEC$;
②$BF=CE$;
③$∠BFC=∠EAF$;
④$AB=BC$.
其中正确的是 (A)

A.①②③
B.①②④
C.①②
D.①②③④

答案： A

10.如图,在$△ABC$中,$∠ABC=90^{\circ }$,延长BA至点D使得$BD=BC$,在BD下方作$DE⊥BD$于点D,连接BE交AC于点F,$BF⊥AC$.若$DE=AB$,$BF=2$,$CF=\frac {14}{3}$,则四边形ADEF的面积为____$\frac{14}{3}$.

答案： $\frac{14}{3}$

11.如图,在$△ABC$中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,在BD上截取$BF=AC$,延长CE至点G,使$CG=AB$,连接AF,AG.
(1)求证:$AG=AF$;
(2)求$∠GAF$的度数.90°

答案：
(1)略
(2)90°

12.【新考法·阅读理解】[问题提出]倍长中线法是一种重要的解题方法,如图1,在$△ABC$中,AD是BC边上的中线,若延长AD至点E,使$DE=AD$,连接CE,可根据“SAS”判定$△ABD\cong △ECD$,从而得到$AB=EC$.
[解决问题]
(1)如图2,已知E为线段DF,AC的中点.若$BD=3$,$CF=4$,$BC=5$,则BE的取值范围是____1＜BE＜6;
(2)如图3,在$Rt△ABO$和$Rt△CDO$中,$∠AOB=∠COD=90^{\circ }$,$OA=OB$,$OC=OD$,连接AC,BD,E是BD的中点,连接OE,求证:$OE=\frac {1}{2}AC$.

答案： 解:
(1)1＜BE＜6
(2)证明:延长OE至点F,使得EF=OE,连接BF(图略).
∵E是BD的中点,
∴BE=DE.
在△BEF和△DEO中,$\left\{\begin{array}{l}EF=EO,\\ \angle BEF=\angle DEO,\\ BE=DE,\end{array}\right.$
∴△BEF≌△DEO(SAS),
∴BF=OD=OC,∠FBE=∠ODE,
∴BF//OD,
∴∠OBF=∠OBE+∠FBE=180°-∠BOD.
∵∠AOC=360°-∠AOB-∠COD-∠BOD=180°-∠BOD,
∴∠OBF=∠AOC.
在△OBF和△AOC中,$\left\{\begin{array}{l}OB=AO,\\ \angle OBF=\angle AOC,\\ BF=OC,\end{array}\right.$
∴△OBF≌△AOC(SAS),
∴OF=AC.
∵OE=$\frac{1}{2}$OF,
∴OE=$\frac{1}{2}$AC.