《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

4.如图,点$A(-2,0)$,$B(-5,0)$,$P$是$y$轴正半轴上一动点,$C$是$AP$的中点,$D$是$x$轴正半轴上一点,且$\angle PDO = \angle CBA$.
(1)求证:$PD = 2BC$;
(2)求点$D$的坐标.(8,0)

答案：
(1)略
(2)$(8,0)$

5.如图,$E$是$BC$的中点,点$A$在$DE$上,且$\angle BAE = \angle CDE$.
求证:$AB = CD$.

证明:过点$B$作$BF// CD$交$DE$的延长线于点$F$。
$\because BF// CD$，$\therefore\angle F = \angle CDE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because\angle BAE = \angle CDE$，$\therefore\angle BAE = \angle F$。
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore BE = CE$。
又$\because\angle BEF = \angle CED$（对顶角相等），
$\therefore\triangle BEF\cong\triangle CED(AAS)$，$\therefore BF = CD$。
$\because\angle BAE = \angle F$，$\therefore AB = BF$（等角对等边），$\therefore AB = CD$。

答案： 【解析】：
过点$B$作$BF// CD$交$DE$的延长线于点$F$。
因为$BF// CD$，所以$\angle F = \angle CDE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle BAE = \angle CDE$，所以$\angle BAE = \angle F$。
因为$E$是$BC$的中点，所以$BE = CE$。
且$\angle BEF = \angle CED$（对顶角相等）。
在$\triangle BEF$和$\triangle CED$中，$\begin{cases}\angle F = \angle CDE\\\angle BEF = \angle CED\\BE = CE\end{cases}$，所以$\triangle BEF\cong\triangle CED(AAS)$，则$BF = CD$。
因为$\angle BAE = \angle F$，所以$AB = BF$（等角对等边），所以$AB = CD$。
【答案】：
过点$B$作$BF// CD$交$DE$的延长线于点$F$。
$\because BF// CD$，$\therefore\angle F = \angle CDE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because\angle BAE = \angle CDE$，$\therefore\angle BAE = \angle F$。
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore BE = CE$。
又$\because\angle BEF = \angle CED$（对顶角相等），
$\therefore\triangle BEF\cong\triangle CED(AAS)$，$\therefore BF = CD$。
$\because\angle BAE = \angle F$，$\therefore AB = BF$（等角对等边），$\therefore AB = CD$。

6.如图,$D$是$BC$的中点,$\angle BAM = \angle NAC = 90^{\circ}$,$AB = AM$,$AC = AN$,试探究线段$AD$与$MN$的关系,并证明.

线段$AD$与$MN$的关系是$MN=2AD$且$MN\perp AD$.

答案： $MN=2AD$，$MN\perp AD$。证明略

7.如图,$AB \perp AE$,$AB = AE$,$AC \perp AD$,$AC = AD$,$AH \perp DE$于点$H$,延长$AH$交$BC$于点$M$.求证:$M$是$BC$的中点.

证明：过点$B$作$BN\perp AM$于点$N$，过点$C$作$CP\perp AM$交$AM$的延长线于点$P$。
因为$AB\perp AE$，$AH\perp DE$，所以$\angle BAN+\angle EAH = 90^{\circ}$，$\angle E+\angle EAH = 90^{\circ}$，则$\angle BAN=\angle E$。
在$\triangle ABN$和$\triangle EAH$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ANB=\angle EHA = 90^{\circ}\\\angle BAN=\angle E\\AB = AE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABN\cong\triangle EAH(AAS)$，则$BN = AH$。
同理可证$\triangle ACP\cong\triangle DAH$，则$CP = AH$，所以$BN = CP$。
在$\triangle BMN$和$\triangle CMP$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BNM=\angle CPM = 90^{\circ}\\\angle BMN=\angle CMP\\BN = CP\end{array}\right.$，所以$\triangle BMN\cong\triangle CMP(AAS)$，则$BM = CM$，即$M$是$BC$的中点。

答案： 【解析】：
过点$B$作$BN\perp AM$于点$N$，过点$C$作$CP\perp AM$交$AM$的延长线于点$P$。
因为$AB\perp AE$，$AH\perp DE$，所以$\angle BAN+\angle EAH = 90^{\circ}$，$\angle E+\angle EAH = 90^{\circ}$，则$\angle BAN=\angle E$。
在$\triangle ABN$和$\triangle EAH$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ANB=\angle EHA = 90^{\circ}\\\angle BAN=\angle E\\AB = AE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABN\cong\triangle EAH(AAS)$，则$BN = AH$。
同理可证$\triangle ACP\cong\triangle DAH$，则$CP = AH$，所以$BN = CP$。
在$\triangle BMN$和$\triangle CMP$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BNM=\angle CPM = 90^{\circ}\\\angle BMN=\angle CMP\\BN = CP\end{array}\right.$，所以$\triangle BMN\cong\triangle CMP(AAS)$，则$BM = CM$，即$M$是$BC$的中点。
【答案】：$M$是$BC$的中点。