《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

2.如图,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAE$,$E$为$CD$的中点,$AB = 2AE$,求证:$\angle B = \angle CAE$.


延长$AE$到$F$，使$EF = AE$，连$DF$。
$\because E$为$CD$中点，$\therefore DE = CE$。
在$\triangle DEF$与$\triangle CEA$中，$\begin{cases}DE = CE\\\angle DEF=\angle CEA\\EF = EA\end{cases}$，$\therefore\triangle DEF\cong\triangle CEA(SAS)$。
$\therefore\angle F=\angle CAE$，$DF = CA$。
$\because AB = 2AE$，$AF = 2AE$，$\therefore AB = AF$。
$\because AD$平分$\angle BAE$，$\therefore\angle BAD=\angle FAD$。
在$\triangle ABD$与$\triangle AFD$中，$\begin{cases}AB = AF\\\angle BAD=\angle FAD\\AD = AD\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle AFD(SAS)$。
$\therefore\angle B=\angle F$，又$\because\angle F=\angle CAE$，$\therefore\angle B=\angle CAE$。

答案： 【解析】：
延长$AE$到点$F$，使$EF = AE$，连接$DF$。
因为$E$为$CD$的中点，所以$DE = CE$。
在$\triangle DEF$和$\triangle CEA$中，$\begin{cases}DE = CE\\\angle DEF=\angle CEA\\EF = EA\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DEF\cong\triangle CEA$。
所以$\angle F=\angle CAE$，$DF = CA$。
因为$AB = 2AE$，$AF=AE + EF = 2AE$，所以$AB = AF$。
又因为$AD$平分$\angle BAE$，所以$\angle BAD=\angle FAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AFD$中，$\begin{cases}AB = AF\\\angle BAD=\angle FAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle AFD$。
所以$\angle B=\angle F$。
又因为$\angle F=\angle CAE$，所以$\angle B=\angle CAE$。
【答案】：
延长$AE$到$F$，使$EF = AE$，连$DF$。
$\because E$为$CD$中点，$\therefore DE = CE$。
在$\triangle DEF$与$\triangle CEA$中，$\begin{cases}DE = CE\\\angle DEF=\angle CEA\\EF = EA\end{cases}$，$\therefore\triangle DEF\cong\triangle CEA(SAS)$。
$\therefore\angle F=\angle CAE$，$DF = CA$。
$\because AB = 2AE$，$AF = 2AE$，$\therefore AB = AF$。
$\because AD$平分$\angle BAE$，$\therefore\angle BAD=\angle FAD$。
在$\triangle ABD$与$\triangle AFD$中，$\begin{cases}AB = AF\\\angle BAD=\angle FAD\\AD = AD\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle AFD(SAS)$。
$\therefore\angle B=\angle F$，又$\because\angle F=\angle CAE$，$\therefore\angle B=\angle CAE$。

3.如图,在$\triangle ABC$中,$D$是$BC$的中点,$DE \perp DF$,$DE$交$AB$于点$E$,$DF$交$AC$于点$F$,连接$EF$.求证:$BE + CF ＞ EF$.

答案：
证明：如图，延长$FD$至点$G$，使$DG=FD$，连接$BG$，$EG$。
$\because D$是$BC$的中点，$DE\perp DF$，
$\therefore BD=CD$，$\angle EDF=\angle EDG=90^{\circ}$。

在$\triangle FDC$和$\triangle GDB$中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=BD,\\\angle FDC=\angle GDB,\\FD=GD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle FDC\cong \triangle GDB(SAS)$，$\therefore FC=GB$。
在$\triangle EDF$和$\triangle EDG$中，
$\left\{\begin{array}{l}FD=GD,\\\angle EDF=\angle EDG,\\DE=DE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle EDF\cong \triangle EDG$，$\therefore EF=EG$。
在$\triangle BEG$中，$BE+BG＞EG$，
$\therefore BE+CF＞EF$。