《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于点 P，且△BPC 的面积是 6，则△ABC 的面积为______12。

答案： 12

2. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D。求证：BF = 2CD。


证明：延长BA、CD交于点E。
在△BDE和△BDC中，$\begin{cases}\angle EBD=\angle CBD\\BD = BD\\\angle BDE=\angle BDC\end{cases}$，△BDE≌△BDC(ASA)，CD = ED=$\frac{1}{2}$CE，即CE = 2CD。
因为∠BAC = 90°，∠BDC = 90°，∠AFB=∠DFC，所以∠ABF=∠ACE。
在△ABF和△ACE中，$\begin{cases}\angle BAF=\angle CAE = 90^{\circ}\\AB = AC\\\angle ABF=\angle ACE\end{cases}$，△ABF≌△ACE(ASA)，BF = CE。
又CE = 2CD，所以BF = 2CD。

答案： 【解析】：
延长$BA$、$CD$交于点$E$。
因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
又因为$BD\perp CD$，所以$\angle BDE = \angle BDC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle BDC$中，$\begin{cases}\angle EBD=\angle CBD\\BD = BD\\\angle BDE=\angle BDC\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle BDE\cong\triangle BDC$，所以$CD = ED=\frac{1}{2}CE$，即$CE = 2CD$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle AFB=\angle DFC$（对顶角相等），根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABF=\angle AC E$。
在$\triangle ABF$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}\angle BAF=\angle CAE = 90^{\circ}\\AB = AC\\\angle ABF=\angle ACE\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ABF\cong\triangle ACE$，所以$BF = CE$。
又因为$CE = 2CD$，所以$BF = 2CD$。
【答案】：
延长$BA$、$CD$交于点$E$。
在$\triangle BDE$和$\triangle BDC$中，$\begin{cases}\angle EBD=\angle CBD\\BD = BD\\\angle BDE=\angle BDC\end{cases}$，$\triangle BDE\cong\triangle BDC(ASA)$，$CD = ED=\frac{1}{2}CE$，即$CE = 2CD$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle AFB=\angle DFC$，所以$\angle ABF=\angle AC E$。
在$\triangle ABF$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}\angle BAF=\angle CAE = 90^{\circ}\\AB = AC\\\angle ABF=\angle ACE\end{cases}$，$\triangle ABF\cong\triangle ACE(ASA)$，$BF = CE$。
又$CE = 2CD$，所以$BF = 2CD$。

3. 已知△ABC 是等边三角形，D 为边 AC 上的一个动点，E 为 BC 延长线上一点，且 BD = DE。
(1) 如图 1，若点 D 在边 AC 上，猜想线段 AD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由。AD 与 CE 之间的数量关系是AD=CE。
(2) 如图 2，若点 D 在 AC 的延长线上，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。(1)中的结论仍然成立。

答案：
(1)$AD=CE$.理由略
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由略