《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

10.(2025·巴蜀中学月考)如图,在$△ABC$中,$AB=AC$,D为$△ABC$外的一点,连接AD,BD,CD.若$∠ABD=60^{\circ },∠ADB=79^{\circ },∠BDC=22^{\circ }$,则$∠CBD$的度数是______19°.

答案： $ 19 ^ { \circ } $

11.(2025·重庆西大附中定时训练改编)如图,在等边三角形ABC中,D为AC上的一点,E为AB延长线上的一点,$DE⊥AC$交BC于点F,且$DF=EF$.
(1)求证:$CD=BE$;
(2)若$AB=12$,求BF的长.4

答案： （1）证明：
过$D$作$DG// AB$交$BC$于$G$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC = \angle C=60^{\circ}$。
由于$DG// AB$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle CDG=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle DGC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
所以$\triangle CDG$是等边三角形，则$CD = DG$。
因为$DG// AB$，所以$\angle DGF=\angle EBF$。
又因为$\angle DFG=\angle EFB$（对顶角相等），$DF = EF$。
在$\triangle DFG$和$\triangle EFB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DGF=\angle EBF\\\angle DFG=\angle EFB\\DF = EF\end{array}\right.$。
根据$AAS$（角角边）定理，可得$\triangle DFG\cong\triangle EFB$。
所以$DG = BE$，又因为$CD = DG$，所以$CD = BE$。
（2）解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 12$，所以$BC=AB = 12$。
由（1）知$\triangle CDG$是等边三角形，$\triangle DFG\cong\triangle EFB$，所以$CG = CD$，$FG = BF$。
设$BF=x$，则$FG=x$，$CG = CD=BE$。
因为$BC = 12$，$BC=CG + FG+BF$，且$CG = BE$，$AB = 12$，$AE=AB + BE$，$DG// AB$，$\triangle CDG$是等边三角形。
又因为$DE\perp AC$，$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle E = 30^{\circ}$，则$AE = 2AD$。
设$CD = BE=y$，则$AD=12 - y$，$AE=12 + y$。
由$AE = 2AD$，可得$12 + y=2(12 - y)$。
展开式子得$12 + y=24-2y$。
移项得$y + 2y=24 - 12$，即$3y = 12$，解得$y = 4$。
因为$BC=12$，$BC=2x + y$，把$y = 4$代入$BC=2x + y$中，得$12=2x + 4$。
移项得$2x=12 - 4$，即$2x = 8$，解得$x = 4$。
所以（1）得证$CD = BE$；（2）$BF$的长为$4$。

12.(教材P85习题T11变式)已知$△ABC$和$△ADE$都是等边三角形.将$△ADE$绕点A旋转到如图1所示的位置时,BD,CE的延长线交于点P(点P与点A重合),$PA+PB=PC$(或$PA+PC=PB$)成立.
(1)将$△ADE$绕点A旋转到如图2所示的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA.猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?请加以证明.猜想：$PA+PC=PB$
(2)将$△ADE$绕点A旋转到如图3所示的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA.猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.结论：$PA+PB=PC$

答案：
(1) $ P A + P C = P B $. 证明略
(2) $ P A + P B = P C $