《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

1.(1)[特例呈现]数学活动课上,在折叠等腰三角形纸片的过程中,小明发现:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.请证明这个命题.
已知:如图,在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,D为BC的中点,$DE\perp AB$于点E,$DF\perp AC$于点F.
求证:$DE=DF$.

(2)[一般探索]在动手操作探究的过程中,小明又发现,如图,对于任意的等腰三角形,若将“D为BC的中点”改为“D为三角形外部的一点,且点D到等腰三角形的两顶点B,C的距离相等”,都能得到点D到两腰所在直线的距离相等,请补全已知,并证明.
已知:如图,在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,$DE\perp AB$,交AB的延长线于点E,$DF\perp AC$,交AC的延长线于点F,____.
求证:$DE=DF$.

(3)[问题拓展]小明继续探究:利用已有的学习经验,尝试改变条件和结论位置,提出猜想:对于平面上的一点D,若满足点D到一个三角形的两顶点B,C的距离相等,且点D到边AB,AC所在直线的距离相等,则这个三角形是等腰三角形.小明认为这个猜想一定成立,但他的同学小强认为这个猜想不一定成立,你同意谁的想法?若同意小明的想法,请画图并说明理由;若同意小强的想法,请画出反例并证明.

答案：
解:
(1) 证明: 连接 $ AD $ (图略).
$\because AB = AC$, $ D $ 为 $ BC $ 的中点, $\therefore AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线.
$\because DE \perp AB$, $ DF \perp AC $, $\therefore DE = DF $.
(2) $ BD = CD $.
证明: 如图, 记 $ \angle DBC = \angle 1 $, $ \angle DCB = \angle 2 $, $ \angle DBE = \angle 3 $, $ \angle DCF = \angle 4 $. 由题意, 得 $ \angle ABC = \angle ACB $, $ \angle DEB = \angle DFC = 90 ^ { \circ } $.

$\because BD = CD $, $\therefore \angle 1 = \angle 2 $.
$\because \angle 3 + \angle 1 + \angle ABC = 180 ^ { \circ } $, $ \angle 4 + \angle 2 + \angle ACB = 180 ^ { \circ } $,
$\therefore \angle 3 = \angle 4 $.
在 $ \triangle DEB $ 和 $ \triangle DFC $ 中, $\left\{ \begin{array} { l } { \angle 3 = \angle 4 }, \\ { \angle DEB = \angle DFC }, \\ { BD = CD }, \end{array} \right. $
$\therefore \triangle DEB \cong \triangle DFC ( AAS ) $, $\therefore DE = DF $.
(3) 同意小强的想法. 证明如下:
如图所示, $ D $ 是 $ \triangle ABC $ 外的一点, $ BD = CD $, $ DE \perp AB $ 于点 $ E $, $ DF \perp AC $, 交 $ AC $ 的延长线于点 $ F $, 且 $ DE = DF $.

在 $ \mathrm { Rt } \triangle BDE $ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle CDF $ 中, $\left\{ \begin{array} { l } { BD = CD }, \\ { DE = DF }, \end{array} \right. $
$\therefore \mathrm { Rt } \triangle BDE \cong \mathrm { Rt } \triangle CDF ( \mathrm { HL } ) $, $\therefore BE = CF $.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle ADE $ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle ADF $ 中, $\left\{ \begin{array} { l } { AD = AD }, \\ { DE = DF }, \end{array} \right. $
$\therefore \mathrm { Rt } \triangle ADE \cong \mathrm { Rt } \triangle ADF ( \mathrm { HL } ) $, $\therefore AE = AF $.
$\because AE = AB - BE $, $ AF = AC + CF $,
$\therefore AB - BE = AC + CF $, 则 $ AB = AC + CF + BE $,
$\therefore AB ＞ AC $, 即 $ \triangle ABC $ 不是等腰三角形,
$\therefore $ 小强的想法是对的, 即同意小强的想法.