《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

5.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，过点$C$作$CD \perp AC$，且$CD = AC$，连接$BD$。若$S_{\triangle BCD} = \frac{9}{2}$，则$BC$的长为______3。

答案： 3

6.(1)如图 1，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线$m$经过点$A$，$BD \perp m$于点$D$，$CE \perp m$于点$E$，则$DE$，$BD$，$CE$之间的数量关系是$DE=BD+CE$。
(2)[拓展]如图 2，将(1)中的条件改为“在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$m$上，并且$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha$，$\alpha$为任意锐角或钝角，请问(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
(3)[应用]如图 3，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$是钝角，$AB = AC$，$\angle BAD ＞ \angle CAE$，$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC$，直线$m$与$BC$的延长线交于点$F$。若$BC = 2CF$，$\triangle ABC$的面积是 12，求$\triangle ABD$与$\triangle CEF$的面积之和。6

答案：
(1)$DE=BD+CE$
(2)成立。证明略
(3)6

7.(1)如图 1，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$E$为$\triangle ABC$外一点，$AD \perp CE$，$BE \perp CE$，垂足分别为$D$，$E$，$AD = 2.5 cm$，$DE = 1.7 cm$，则$BE$的长为0.8cm。
(2)[探索证明]如图 2，点$B$，$C$分别在$\angle MAN$的边$AM$，$AN$上，$AB = AC$，点$E$，$F$在$\angle MAN$内部的射线$AD$上，且$\angle BED = \angle CFD = \angle BAC$。求证：$\triangle ABE \cong \triangle CAF$。
(3)[拓展应用]如图 3，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB ＞ BC$。点$D$在边$BC$上，点$E$在线段$AD$上，$\angle BED = \angle BAC$。若$DE:BE:AE = 1:2:5$，求$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle ACD}$的值为1:15。

答案：
(1)0.8
(2)略
(3)$1:15$