《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9. (2025·巴蜀中学期中)如图，在三角形纸片$ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$AC=12$，沿过点$A$的直线将纸片折叠，使点$B$落在$BC$上的点$D$处，折痕交$BC$于点$F$；再折叠纸片，使点$C$与点$D$重合，折痕交$AC$于点$E$，交$BC$于点$G$．若$AD=2FD$，则$DE=$4．

答案： 4

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$CA=CB$，$∠BAD=∠ADE=60^{\circ}$，$DE=3$，$AB=10$，$CE$平分$∠ACB$，$DE$与$CE$相交于点$E$，则$AD$的长为______7．

答案： 7

11. (2025·礼嘉中学期中改编)如图，$\triangle ABC$是边长为$6$的等边三角形，$P$是边$AC$上的一点（与$A$，$C$两点不重合），$Q$是$CB$延长线上的一点（点$Q$与点$B$不重合），且$AP=BQ$，过点$P$作$PE⊥AB$于点$E$，连接$PQ$交$AB$于点$D$．
(1)当$∠BQD=30^{\circ}$时，求$AP$的长．2
(2)$DE$的长是否为定值？若是，求出$DE$的长；若不是，请说明理由．$DE$的长是定值.$DE=$3

答案： （1）
解：
因为$\triangle ABC$是边长为$6$的等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC = \angle C=60^{\circ}$，$AB = BC = AC = 6$。
因为$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle QBD = 120^{\circ}$。
在$\triangle QBD$中，$\angle QBD = 120^{\circ}$，$\angle BQD = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle QDB=180^{\circ}-\angle QBD - \angle BQD=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
所以$\angle BQD=\angle QDB$，则$BQ = BD$。
设$AP = x$，因为$AP = BQ$，所以$BQ = x$，$BD = x$，$PC=AC - AP=6 - x$。
又因为$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle BQD = 30^{\circ}$，在$\triangle QCP$中，$\angle QPC=\angle BQD+\angle C=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$PC=\frac{1}{2}CQ$（在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半）。
因为$CQ=CB + BQ=6 + x$，$PC = 6 - x$，则$6 - x=\frac{1}{2}(6 + x)$。
去括号得$6 - x = 3+\frac{1}{2}x$。
移项得$-x-\frac{1}{2}x=3 - 6$。
合并同类项得$-\frac{3}{2}x=-3$。
解得$x = 2$，即$AP = 2$。
（2）
解：
过$P$作$PF// BC$交$AB$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle C = 60^{\circ}$。
因为$PF// BC$，所以$\angle AFP=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle APF=\angle C = 60^{\circ}$，则$\triangle APF$是等边三角形。
所以$AP = AF = PF$。
又因为$AP = BQ$，所以$PF = BQ$。
因为$PF// BQ$，所以$\angle PFD=\angle QBD$，$\angle FPD=\angle BQD$。
在$\triangle PFD$和$\triangle QBD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle PFD=\angle QBD\\\angle FPD=\angle BQD\\PF = BQ\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle PFD\cong\triangle QBD$。
所以$FD = BD$。
因为$\triangle APF$是等边三角形，$PE\perp AF$，根据等边三角形三线合一，所以$AE = EF$。
则$DE=EF + FD=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}(AF + FB)=\frac{1}{2}AB$。
因为$AB = 6$，所以$DE = 3$，$DE$的长是定值。

12. (2025·重庆一中开学考试)在等腰直角三角形$ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$D$是$BC$上的任意一点，连接$AD$，过点$C$作$CE⊥AD$交$AD$于点$E$．
(1)如图1，若$∠BAD=15^{\circ}$，$CE=\sqrt{3}$，$CD=2$，求$\triangle ACD$的面积；$2\sqrt{3}$
(2)如图2，过点$C$作$CF⊥BF$，且$CF=CE$，连接$FE$并延长交$AB$于点$M$，求证：$AM=BM$．略

答案：
(1)$2\sqrt{3}$
(2)略