《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图，有正方形卡片$A$类、$B$类和$C$类若干张，若要拼一个长为$a+2b$、宽为$3a+b$的大长方形，则需要$C$类卡片（C）

A. $5$张
B. $6$张
C. $7$张
D. $8$张

答案： C

10. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：$(3x+a)(2x+b)$.甲由于把第一个多项式中的“$+a$”看成了“$-a$”，得到的结果为$6x^{2}-13x+6$.乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$3x^{2}-7x-6$.这道整式乘法题的正确结果是$6x^{2}-5x - 6$.

答案： $ 6x^{2}-5x - 6 $

11. 阅读材料，解决问题：
当$a-b＞0$时，一定有$a＞b$；当$a-b=0$时，一定有$a=b$；当$a-b＜0$时，一定有$a＜b$.
(1)用“$＞$”或“$＜$”填空：$\because (a+1)-(a-1)$＞$0$，$\therefore a+1$＞$a-1$；
(2)已知$n$为自然数，$P=(n+1)(n+4)$，$Q=(n+2)(n+3)$，试比较$P$与$Q$的大小；
(3)已知$A=654321×654324$，$B=654322×654323$，直接写出$A$与$B$的大小关系.

答案：
(1) $ ＞ $ $ ＞ $
(2) $ P ＜ Q $
(3) $ A ＜ B $

12. (教材P118习题T8变式)(2024·八中月考改编)阅读：在计算$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作“特殊到一般”.如下所示：
[观察]$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$，
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$，
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=a^{4}-b^{4}$.
[归纳]$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$.
[应用]计算$2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+\cdots +2^{2}+2+1$.
解：令$a=2$，$b=1$，$n=2024$，
则$(2-1)(2^{2023}+2^{2022}×1+2^{2021}×1^{2}+\cdots +2^{2}×1^{2021}+2×1^{2022}+1^{2023})=2^{2024}-1$，
$\therefore 2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+\cdots +2^{2}+2+1=2^{2024}-1$.
结合上述材料，完成下列问题：
(1)若$(x-1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=-2$，求$x^{100}$的值；1
(2)计算$3^{20}-3^{19}+3^{18}-3^{17}+\cdots -3^{3}+3^{2}-3+1$；$\frac{1}{4}(3^{21}+1)$
(3)若多项式$P$，$Q$满足$(a+b)\cdot P=a^{2024}-b^{2024}$，$(a+b)\cdot Q=a^{2025}+b^{2025}$，请用一个含$a$，$b$的式子表示出$P$，$Q$之间的数量关系.$Q = aP + b^{2024}$

答案：
(1) 1
(2) $ \frac{1}{4}(3^{21}+1) $
(3) $ Q = aP + b^{2024} $