《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,E 为 BC 边上一点,$AC=CE$,连接 AE,$CD⊥AE$交 AE 于点 F,交 AB 于点 D,连接 DE,$∠CAB=2∠B$. 若$CE=5,AD=3$,则 BC 的长为 (C)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 10

答案： C

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=16cm,BC=8cm$,过点 A 作$AM⊥AC$,点 P,Q 分别在线段 AC 和射线 AM 上移动. 若$PQ=AB$,则当$AP=$$8 \mathrm{cm}$ 或 $16 \mathrm{cm}$时,$\triangle ABC$和$\triangle APQ$全等.

答案： $8 \mathrm{cm}$ 或 $16 \mathrm{cm}$

11. 如图,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F,$BD=CD,BE=CF$. 有下列结论:①$DE=DF$;②AD 平分$∠BAC$;③$AE=AD$;④$AC-AB=2BE$. 其中正确的是①②④.(填序号)

答案： ①②④

12. 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 为对角线,且$AC=AB,∠ACD=∠ABD,AE⊥BD$于点 E. 若$BD=3,CD=2$,求 DE 的长.

$\frac{1}{2}$

答案： $ \frac{1}{2} $

13. 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行了研究.
[初步思考]
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$AC=DF,BC=EF,∠B=∠E$,然后对$∠B$进行分类,可分为$∠B$是直角、钝角、锐角三种情况.
[深入探究]
(1) 如图 1,当$∠B$是直角时,在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90^{\circ }$,根据____,可以知道$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF$.

(2) 如图 2,当$∠B$是钝角时,在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$AC=DF,BC=EF,∠B=∠E$,求证:$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.
(3) 如图 3,当$∠B$是锐角时,$∠B=∠E＜90^{\circ },BC=EF$.
① 在射线 EM 上是否存在点 D,使$DF=AC$?若存在,请在图中作出这个点,并连接 DF;若不存在,请说明理由.
② 在①的条件下,$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的关系是____(填“全等”“不全等”或“不一定全等”).

答案：
解:
(1) HL
(2) 略
(3) ①存在. 如图, 点 $ D, D' $ 即为所求.
　　　　 　　　
②不一定全等