《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

例 如图,在四边形 ABCD 中,$CE⊥AB$,已知$CB=CD$,AC 平分$∠BAD$.求证:
(1)$∠B+∠ADC=$180°;
(2)$AB+AD=$2AE.

答案： 【解析】：
(1) 过点$C$作$CF⊥AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，$CE⊥AB$，$CF⊥AD$，根据角平分线的性质可知$CE = CF$。
在$Rt\triangle CEB$和$Rt\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}CB = CD\\CE = CF\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle CEB\cong Rt\triangle CFD$。
所以$\angle B=\angle CDF$，又因为$\angle CDF+\angle ADC = 180^{\circ}$，所以$\angle B+\angle ADC = 180^{\circ}$。
(2) 因为$AC$平分$\angle BAD$，$CE⊥AB$，$CF⊥AD$，所以$\angle CAE=\angle CAF$，$\angle AEC=\angle AFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEC$和$\triangle AFC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CAE=\angle CAF\\\angle AEC=\angle AFC\\AC = AC\end{array}\right.$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理可得$\triangle AEC\cong\triangle AFC$，所以$AE = AF$。
由$Rt\triangle CEB\cong Rt\triangle CFD$可得$BE = DF$。
$AB + AD=(AE + BE)+(AF - DF)$，把$AE = AF$，$BE = DF$代入可得$AB + AD=(AE + DF)+(AE - DF)=2AE$。
【答案】：
(1)$\angle B+\angle ADC = 180^{\circ}$得证。
(2)$AB + AD = 2AE$得证。

1.如图,在四边形 ABCD 中,$AD=DC$,$∠ADC=∠ABC=90^{\circ }$,$DE⊥AB$于点 E,若四边形 ABCD 的面积为 16,则 DE 的长为______4.

答案： 4

2.如图,$AC=BC$,$∠C=90^{\circ }$,点 A 的坐标为$(0,4)$,点 B 的坐标为$(10,0)$,则点 C 的坐标为______（7，7）.

答案： （7，7）

3.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分$∠BAD$,$CB=CD$,$CF⊥AD$于点 F.若$AF:CF=3:4$,$CF=8$,则四边形 ABCD 的面积为______48.

答案： 48

4.如图,在$△ABC$中,$∠ABC=∠C$,D,E 分别是 BC,AC 上的点,AD,BE 相交于点 P,连接 DE,$∠EBC=∠BAD$.
(1)求证:$∠DPE+∠C=180^{\circ }$;
(2)若$PE=CE$,求证:DE 平分$∠ADC$.

答案： 【解析】：
(1)
因为$\angle ABC = \angle C$，$\angle EBC=\angle BAD$。
根据三角形外角性质，$\angle ADC=\angle ABC + \angle BAD$，$\angle BEC=\angle C+\angle EBC$。
所以$\angle ADC=\angle BEC$。
在四边形$PDCE$中，$\angle DPE+\angle ADC+\angle C+\angle PEC = 360^{\circ}$，又因为$\angle ADC=\angle BEC$，$\angle BEC+\angle PEC = 180^{\circ}$（邻补角定义）。
所以$\angle DPE+\angle C=180^{\circ}$。
(2)
连接$PC$。
因为$PE = CE$，所以$\angle EPC=\angle ECP$。
由
(1)知$\angle DPE+\angle C = 180^{\circ}$，又$\angle DPE+\angle BPC=180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle BPC=\angle C$。
因为$\angle BPC=\angle PDC+\angle PCD$，$\angle C=\angle ECP+\angle ECD$，且$\angle EPC=\angle ECP$，所以$\angle PDC=\angle EDC$。
即$DE$平分$\angle ADC$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$\angle DPE+\angle C = 180^{\circ}$。
(2) 证明过程如上述解析，证得$DE$平分$\angle ADC$。