《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图,在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中,点A,B均在小正方形的顶点上.若要在小正方形的顶点中确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等腰三角形,则网格中满足条件的点C的个数是 (B)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： B

10.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD,∠CAD=∠C.若AB=5,AD=2,则BC的长为 (D)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： D

11.(2024·合川区期末)如图,在△ABC中,AD为BC边的中线,E为AD上一点,连接BE并延长交AC于点F.若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为______2.4.

答案： 2.4

12.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在线段AC上,点D在AB的延长线上,连接DE交BC于点F,过点E作EG⊥BC于点G.若BD=CE,求证:FG=BF+CG.



证明：过点$E$作$EH// AB$交$BC$于点$H$。

- 因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle C$。

又$EH// AB$，所以$\angle EHC = \angle ABC$，则$\angle EHC = \angle C$，$EH = EC$。

因为$BD = CE$，所以$BD = EH$。

又$EH// AB$，所以$\angle D = \angle HEF$。

- 在$\triangle BDF$和$\triangle HEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D = \angle HEF\\\angle BFD = \angle HFE\\BD = EH\end{array}\right.$，所以$\triangle BDF\cong\triangle HEF(AAS)$，$BF = HF$。

- 因为$EH = EC$，$EG\perp BC$，所以$HG = CG$。

又$FG = FH + HG$，所以$FG = BF + CG$。

综上，$FG = BF + CG$得证。

答案： 【解析】：
过点$E$作$EH// AB$交$BC$于点$H$。
- **步骤一：证明$\angle EHC = \angle ABC$，$\angle D = \angle HEF$**
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle C$。
又因为$EH// AB$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle EHC = \angle ABC$，所以$\angle EHC = \angle C$，则$EH = EC$。
因为$BD = CE$，所以$BD = EH$。
因为$EH// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle D = \angle HEF$。
- **步骤二：证明$\triangle BDF\cong\triangle HEF$**
在$\triangle BDF$和$\triangle HEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D = \angle HEF\\\angle BFD = \angle HFE\\BD = EH\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDF\cong\triangle HEF$。
所以$BF = HF$。
- **步骤三：证明$FG = BF + CG$**
因为$EH = EC$，$EG\perp BC$，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可得$HG = CG$。
又因为$FG = FH + HG$，$BF = HF$，$HG = CG$，所以$FG = BF + CG$。
【答案】：
过点$E$作$EH// AB$交$BC$于点$H$。
- 因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle C$。
又$EH// AB$，所以$\angle EHC = \angle ABC$，则$\angle EHC = \angle C$，$EH = EC$。
因为$BD = CE$，所以$BD = EH$。
又$EH// AB$，所以$\angle D = \angle HEF$。
- 在$\triangle BDF$和$\triangle HEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D = \angle HEF\\\angle BFD = \angle HFE\\BD = EH\end{array}\right.$，所以$\triangle BDF\cong\triangle HEF(AAS)$，$BF = HF$。
- 因为$EH = EC$，$EG\perp BC$，所以$HG = CG$。
又$FG = FH + HG$，所以$FG = BF + CG$。
综上，$FG = BF + CG$得证。

13.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC上的一动点(不与点A,C重合),过点A作AD⊥BE,交BE的延长线于点D,连接CD.
(1)求∠CDB的度数.45°
(2)如图2,若E为AC的中点,探究BE与DE之间的数量关系,并说明理由.BE = 5DE
(3)在点E运动的过程中,是否存在△ACD是等腰三角形的情况?若存在,请直接写出∠CBD的度数;若不存在,请说明理由.存在，22.5°

答案：
(1) $ 45^{\circ} $
(2) $ BE = 5DE $. 理由略
(3) 在点 E 运动的过程中, 存在 $ \triangle ACD $ 是等腰三角形的情况. $ \angle CBD = 22.5^{\circ} $