《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

6.如图，已知$∠MON$，A，B分别是射线OM，ON上的点.
（1）尺规作图：在$∠MON$的内部确定一点C，使得$BC// OA$且$BC=OA$；（保留作图痕迹，不写作法）
作图痕迹：以$B$为顶点，作$\angle NBC=\angle MON$，在射线$BN$上截取$BC = OA$，点$C$即为所求
（2）在（1）的条件下，连接OC，交AB于点D，求证：$OD=CD.$
证明：因为$BC// OA$，所以$\angle OAD=\angle BCD$，$\angle AOD=\angle CBD$（两直线平行，内错角相等）。又因为$BC = OA$，所以$\triangle AOD\cong\triangle BCD(AAS)$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。由全等三角形的性质可知$OD = CD$。

答案： 【解析】：
（1）
以$B$为顶点，作$\angle NBC=\angle MON$（根据同位角相等，两直线平行，这样可保证$BC// OA$）。
然后在射线$BN$上截取$BC = OA$（利用圆规截取等长线段），点$C$即为所求。
（2）
因为$BC// OA$，所以$\angle OAD=\angle BCD$，$\angle AOD=\angle CBD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$BC = OA$，所以$\triangle AOD\cong\triangle BCD(AAS)$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
由全等三角形的性质可知$OD = CD$。
【答案】：
（1）按照上述方法作出图形（略）。
（2）证明过程如上述解析，证得$OD = CD$。

7.如图，已知$\triangle ABC$.用直尺和圆规作$\triangle DEF$，使得$\triangle DEF\cong \triangle ABC$.（要求：①用两种不同的方法作图；②不写作法，保留作图痕迹）

答案：
解:如图所示,$△DEF$即为所作.
　　　

8.尺规作图：如图，已知线段BC和一副三角尺，其中$∠α=60^{\circ },∠β=45^{\circ }$.求作$\triangle ABC$，使得$∠ABC=60^{\circ },∠BAC=75^{\circ }$.（要求：保留作图痕迹，不写作法）

按照上述方法作出的$\triangle ABC$即为所求（作图痕迹根据上述步骤体现，如作出$\angle ABC = 60^{\circ}$和$\angle ACB = 45^{\circ}$从而确定$A$点）

答案： 【解析】：
1. 首先，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle BAC = 75^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC - \angle ABC=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$。
2. 然后，以线段$BC$为边，利用三角尺作$\angle ABC = 60^{\circ}$：
用三角尺中$\angle\alpha = 60^{\circ}$的角，以$B$为顶点，$BC$为一边作$\angle XBC = 60^{\circ}$。
3. 接着，作$\angle BAC = 75^{\circ}$：
因为$75^{\circ}=30^{\circ}+45^{\circ}$，但我们可以换一种思路，由于$\angle ACB = 45^{\circ}$，用三角尺中$\angle\beta = 45^{\circ}$的角，以$C$为顶点，$BC$为一边作$\angle YCB = 45^{\circ}$，$BX$与$CY$的交点为$A$，则$\triangle ABC$就是所求作的三角形（利用三角形内角和确定第三个角，再用三角尺作已知角）。
【答案】：按照上述方法作出的$\triangle ABC$即为所求（作图痕迹根据上述步骤体现，如作出$\angle ABC = 60^{\circ}$和$\angle ACB = 45^{\circ}$从而确定$A$点）。

9.如图，已知四边形ABCD，连接AC，BD.在对角线AC上求作一点P，使得$\triangle ADP$的面积等于$\triangle ADB$的面积.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

过点B作AD的平行线交AC于点P，点P即为所求（作图痕迹：以B为顶点，利用尺规作AD的平行线，与AC的交点为P）

答案： 【解析】：根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），要使$\triangle ADP$的面积等于$\triangle ADB$的面积，因为这两个三角形有公共边$AD$，所以只需这两个三角形以$AD$为底时的高相等。
过点$B$作$AD$的平行线交$AC$于点$P$，则点$P$即为所求（因为两平行线间的距离处处相等，此时$\triangle ADP$与$\triangle ADB$以$AD$为底时高相等）。
【答案】：过点$B$作$AD$的平行线交$AC$于点$P$，点$P$即为所求（作图痕迹：以$B$为顶点，利用尺规作$AD$的平行线，与$AC$的交点为$P$）。

10.我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等，而满足两边和其中一边的对角分别相等的条件的两个三角形却不一定全等.请探究两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
探究：如图，已知$\triangle ABC$，求作一个$\triangle DEF$，使$EF=BC,∠F=∠C,DE=AB$（即两边和其中一边的对角分别相等）.
（1）请用尺规作图的方法作出$\triangle DEF$；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）观察所画的图形，满足条件的三角形有____个，其中____与$\triangle ABC$明显不全等；
（3）经历以上探究过程，可得结论：____.

答案：

(1)解:
(1)如图,$△DEF,△D'EF$即为所求.
　　　　
(2)2　$△D'EF$
(3)两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等