《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

8. 如果点P关于x轴对称的点为$(a,-1)$,关于y轴对称的点为$(-2,b)$,那么点P的坐标为 (D)
A.$(a,-b)$
B.$(b,a)$
C.$(-1,-2)$
D.$(2,1)$

答案： D

9. 已知点$P(a+1,2a-1)$关于x轴对称的点在第一象限,则a的取值范围为$-1 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$.

答案： $-1 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$

10. 已知点$A(2b-1,-a+b),B(2a-b,5+a).$
(1)若点A,B关于x轴对称,则$a=$-8,$b=$-5;
(2)若点A,B关于y轴对称,则$(4a+b)^{2023}=$-1.

答案：
(1) -8 -5
(2) -1

11. 在平面直角坐标系中,若直线m上各点的纵坐标均为2,直线n上各点的横坐标均为-2,点$P(a,b)$关于直线m对称的点为$P_{1}$,点$P_{1}$关于直线n对称的点为$P_{2}$,则点$P_{2}$的坐标为(-4 - a,4 - b).

答案： (-4 - a,4 - b)

12. 如图,在平面直角坐标系中对$△ABC$进行轴对称变换.若点A的坐标是$(a,b)$,经过第1次变换后所得的点$A_{1}$的坐标是$(a,-b)$,则经过第2025次变换后所得的点$A_{2025}$的坐标是____(a,-b).

答案： (a,-b)

13. 如图,在平面直角坐标系中,$△ABC$的顶点$A(0,1),B(3,2),C(1,4)$均在小正方形网格的格点(网格线的交点)上.

(1)画出$△ABC$关于x轴对称的图形$△A_{1}B_{1}C_{1}$(点A,B,C的对应点分别为$A_{1},B_{1},C_{1}$);
(2)画$△ABD$,点D在第二象限内的格点上,且$∠ADB=45^{\circ }$,画出所有符合条件的图形,并写出点D的坐标.(-3,0)

答案： 【解析】：
(1) 关于$x$轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。已知$A(0,1)$，$B(3,2)$，$C(1,4)$，则$A_1(0, -1)$，$B_1(3, -2)$，$C_1(1, -4)$。然后根据这三个点的坐标画出$\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 因为$\angle ADB = 45^{\circ}$，且点$D$在第二象限内的格点上。根据圆的性质，$90^{\circ}$的圆周角所对的圆心角是$180^{\circ}$，我们可以构造以$AB$为斜边的等腰直角三角形（$AB$为圆的弦，$\angle ADB = 45^{\circ}$，则圆心角$\angle AEB=90^{\circ}$，$E$为圆心）。
先求$AB$的长度，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$A(0,1)$，$B(3,2)$，则$AB=\sqrt{(3 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$。
设$D(x,y)$（$x\lt0$，$y\gt0$且$x,y$为整数），通过尝试格点：
当$D(-1,3)$时，$AD=\sqrt{(-1 - 0)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(-1 - 3)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{16 + 1}=\sqrt{17}$，$AB=\sqrt{10}$，不满足。
当$D(-2,0)$时，$AD=\sqrt{(-2 - 0)^2+(0 - 1)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(-2 - 3)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{25 + 4}=\sqrt{29}$，不满足。
当$D(-2,4)$时，$AD=\sqrt{(-2 - 0)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$，$BD=\sqrt{(-2 - 3)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{25 + 4}=\sqrt{29}$，不满足。
当$D(-1,1)$时，$AD = 1$，$BD=\sqrt{(-1 - 3)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{16 + 1}=\sqrt{17}$，不满足。
当$D(-2,3)$时，$AD=\sqrt{(-2 - 0)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{(-2 - 3)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{25 + 1}=\sqrt{26}$，不满足。
当$D(-1,0)$时，$AD=\sqrt{(-1 - 0)^2+(0 - 1)^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{(-1 - 3)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$，不满足。
当$D(-3,3)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{36 + 1}=\sqrt{37}$，不满足。
当$D(-3,1)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(1 - 1)^2}=3$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{36 + 1}=\sqrt{37}$，不满足。
当$D(-2,2)$时，$AD=\sqrt{(-2 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(-2 - 3)^2+(2 - 2)^2}=5$，不满足。
当$D(-1,4)$时，$AD=\sqrt{(-1 - 0)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(-1 - 3)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$，不满足。
当$D(-3,2)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(2 - 2)^2}=6$，不满足。
当$D(-2, -1)$时，不在第二象限，舍去。
当$D(-3, -1)$时，不在第二象限，舍去。
当$D(-1,-1)$时，不在第二象限，舍去。
当$D(-3,4)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{9 + 9}=3\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{36 + 4}=2\sqrt{10}$，不满足。
当$D(-4,3)$时，$AD=\sqrt{(-4 - 0)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(-4 - 3)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{49 + 1}=5\sqrt{2}$，此时$AD^{2}+BD^{2}=(2\sqrt{5})^{2}+(5\sqrt{2})^{2}=20 + 50 = 70$，$AB^{2}=10$，不满足。
当$D(-2,5)$时，$AD=\sqrt{(-2 - 0)^2+(5 - 1)^2}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{(-2 - 3)^2+(5 - 2)^2}=\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}$，不满足。
当$D(-3,5)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(5 - 1)^2}=\sqrt{9 + 16}=5$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(5 - 2)^2}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，不满足。
当$D(-1,5)$时，$AD=\sqrt{(-1 - 0)^2+(5 - 1)^2}=\sqrt{1 + 16}=\sqrt{17}$，$BD=\sqrt{(-1 - 3)^2+(5 - 2)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$，不满足。
当$D(-4,2)$时，$AD=\sqrt{(-4 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{16 + 1}=\sqrt{17}$，$BD=\sqrt{(-4 - 3)^2+(2 - 2)^2}=7$，不满足。
当$D(-4,1)$时，$AD=\sqrt{(-4 - 0)^2+(1 - 1)^2}=4$，$BD=\sqrt{(-4 - 3)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{49 + 1}=5\sqrt{2}$，不满足。
当$D(-4,4)$时，$AD=\sqrt{(-4 - 0)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$，$BD=\sqrt{(-4 - 3)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{49 + 4}=\sqrt{53}$，不满足。
当$D(-3,0)$时，$AD=\sqrt{(-3 - 0)^2+(0 - 1)^2}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(-3 - 3)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{36 + 4}=2\sqrt{10}$，此时$\angle ADB = 45^{\circ}$（可通过构造等腰直角三角形或利用三角函数验证）；当$D(-1, - 2)$时，不在第二象限，舍去；当$D(-2,-2)$时，不在第二象限，舍去。
【答案】：
(1) 图略（根据$A_1(0, -1)$，$B_1(3, -2)$，$C_1(1, -4)$画出$\triangle A_1B_1C_1$）。
(2) $D(-3,0)$。